Cesta do hlubin fraktálovy duše V

24. 01. 2015 9:09:21
V minulém vydání jsme se podívali, co se stane s Mandelbrotovou množinou, když se kvadratická rovnice z její formulky vymění za nějakou jinou nelineární funkci. Dnes udělám totéž s množinou Juliovou. A protože neustále lavíruju mezi těmito dvěma množinami, připojím ještě zjednodušený výklad obou množin v jednodimenzionálním celočíselném případě, který sice neplodí tak hezké konfigurace, ale je pro laika podstatně průstřelnější. Ale udělám to až pod obrázky, aby ti kdo sem přišli čistě z estetických ponutek mohli vzít včas roha.

Pro každou nelinearitu ukážu Juliovu množinu pro dvě různé hodnoty parametrů (jednu v oranžových tónech, druhou v modrých) a pro každou množinu si navíc vyberu jeden detail (opět ohraničený zeleným rámečkem) a ten ukážu hned pod obrázkem ve větším rozlišení. Hlouběji než na jedno zvětšení nepůjdu, protože ve třetím díle (první série obrázků) jsme viděli, že při dalších zvětšeních už se v podstatě jen opakují tvarové konfigurace z předchozích rozlišení.


1. f(z)=z3

js_3m.jpg

js_3mm.jpg

 

js_3n.jpg

js_3nn.jpg

 

2. f(z)=z4

js_4m.jpg

js_4mm.jpg

 

js_4n.jpg

js_4nn.jpg

 

3. f(z)=z5

V jistém smyslu platí, že když si vyberete parametr v robustní části Mandelbrotovy množiny, dostanete robustní a kompaktní množiny Juliovy. Naopak, vyberete-li si parametr z nějakého rozsypaného a vysušeného ramene, bude příslušná Juliova množina též rozsypaná a vysušená a čím hlouběji do toho ramene zajedete, tím rozbitější bude - viz oranžová série. V modré sérii se vrátíme do té robustnější části.

js_5m.jpg

js_5mm.jpg

 

js_5n.jpg

js_5nn.jpg

 

A pro těch pár odvážlivců, kteří pokračují ve čtení, tady je slíbený rozdíl mezi Mandelbrotovou a Juliovou množinou, provedený ve zjednodušeném jednorozměrném případě. Výklad bude celkem elementární - pokud máte technické vzdělání, budete se pravděpodobně nudit.

Opakované dosazení (iterace)

Několikrát jsem předchozích textech použil frázi opakované dosazení do kvadratické formulky (někdy říkáme funkce). Podívejme se tedy nejdřív v detailu co to je a jak to funguje. Vezměme si nějakou jednoduchou kvadratickou funkci - třeba tuto:

x2-1

V první řadě si uděláme pár jednoduchých dosazení. Když do té formulky (za x) dosadíte 0, dostanete -1. Když dosadíte řekněme -2, dostanete 3. Když dosadíte 9, dostanete 80. Když dosadíte 80, dostanete 6399. Všimněte si, že v tom posledním případě jsme do formulky dosadili číslo, které nám vyšlo (z formulky) v předchozím dosazení. Opakované dosazení vlastně není nic jiného než zacyklování tohoto principu. Tedy vybereme si číslo (to první si zvolíme více méně náhodně), dosadíme ho do formulky a to co nám vyjde, použijeme v příštím dosazení a takhle pořád dokola. 

Podívejme se ještě jednou a podrobněji jak to vypadá, když si vybereme jako počáteční číslo 9. V první iteraci (tedy po prvním dosazení) dostaneme 80. Ve druhé iteraci (tedy po druhém dosazení) dostaneme 6399. No a ve třetí už na nás vyhřezne téměř 41 milionů - přesněji: 40947200 a tak můžeme pokračovat dál. Výsledkem této postupné iterace (tedy opakovaného dosazení) je evidentně posloupnost čísel - v našem případě jsou celá, ale obecně mohou být i desetinná. A protože studenti mají panický strach z latinsky znějících odborných termínů, budu takovým posloupnostem čísel říkat anička. Výsledkem opakovaného dosazení do naší formulky (s počátečním výběrem 9) je tedy tato anička:

9, 80, 6399, 40947200, 1676673187839999, 2811232978821544570519224320000, ...

(ty tři tečky v závěru znamenají, že tuto hru můžeme hrát dál, máme-li dobrou kalkulačku)

Ta anička závisí na dvou věcech. Jednak na tom, co jsme si vybrali za počáteční číslo a jednak na parametrech té vybrané funkce (tedy na jejích koeficientech - v našem případě je funkce x2-1, parametr je tedy -1). Změníme-li počáteční číslo nebo parametr (a nebo obojí), změní se pochopitelně i anička. Podívejme se třeba na to, co se stane pokud si za počáteční číslo vybereme -2. Příslušná anička teď bude vypadat takto:

-2, 3, 8, 63, 3968, 15745023, ...

a teď zkusme vzít jako počáteční číslo -1 a ejhle co nám vyjde za aničku:

-1, 0, -1, 0, -1, 0, ...

Všimněte, že zatímco v prvních dvou případech se anička vydala hrdinně do nekonečna, v tom třetím zůstala při zemi a i když si tu hru budete hrát dál, stále zůstanete v poměrně malých číslech (v našem případě budete oscilovat mezi -1 a 0). Těm prvním dvěma aničkám (co se nebojí vyrazit do nekonečna) budu říkat velké aničky zatímco v tom třetím případě použiju označení malá anička. Jako cvičení si můžete vzít počáteční číslo 0 a přesvědčit se, že dostanete malou aničku. Pro 2 dostanete naopak velkou aničku - konkretně tuto:

2, 3, 8, 63, 3968, 15745023, ...

To rozdělění na velké a malé aničky se v praxi dělá tak, že si vyberete nějakou hranici (třeba 50) a pokud anička tuto hranici během výpočtu přeleze bude velká. Pokud ne, zůstane malá. A aby bylo jasno, že to počáteční číslo může být i desetinné, tady je anička pro 1.2

(jelikož používám americký software, budu psát desetinnou tečku)

1.200, 4.040, 27.442, 834.366, 698669.072


Druhá věc, na které anička závisí je tvar formulky (tedy její koeficient neboli parametr). Vezměme si třeba tuto modifikaci:

x2-3

(tedy z koeficientu -1 jsem udělal -3)

Teď máme novou funkci a všechny aničky se tím pádem změní. I ty které už jsme si spočítali nahoře (stejně jako když se podruhé oženíte tak Vaše nová manželka bude i na stejné podněty reagovat úplně jinak). Tady je třeba anička pro 9 a vidíte sami, že je úplně jiná:

9, 78, 6081, 36978558, 1367413751759361, 1869820368500611348322851128318, ...

Tato anička je zjevně velká. Chcete-li vidět nějakou malou, zkuste třeba počáteční číslo 1:

1, -2, 1, -2, 1, -2

Možná Vám trochu vrtá hlavou, proč uvažuji pouze kvadratické funkce ve tvaru x2+p, (kde p je nějaké číslo - tedy parametr) a ne obecnější tvar x2+a*x+b. Odpověď spočívá v tom, že ten obecnější tvar se dá na náš speciální tvar převést takzvaným doplněním na čtverec. Nemusíme si s ním tedy lámat hlavu

A teď když už víme, co je to opakované dosazení - tedy iterace - můžeme se pustit do díla.


Mandelbrotova množina

Při konstrukci Mandelbrotovy množiny si zafixujeme počáteční číslo (někdy říkáme počáteční podmínku) na nějaké stabilní hodnotě, řekněme 0, a budeme si hrát pouze s parametrem p (v úplně prvním fraktálovém blogu jsem tomu říkal hra o jablko). Pro každou hodnotu p z nějakého intervalu celých čísel (na obrázku níže si například beru čísla od -9 do 9) si vytvoříme aničku, která odpovídá počátečnímu číslu 0 (to je fixované) a funkci x2+p, kde p je výše zmíněný parametr. Každý bod na následujícím obrázku odpovídá jedné hodnotě p (jsou označeny pod nimi) a je obarven černě, pokud opakovaným dosazením vznikne malá anička a barevně pokud vznikne anička velká.

fracs_mand.jpg

Takže ještě jednou: ta čísla pod puntíky odpovídají parametrům p v naší funkci (formulce) a barva odpovídá chování příslušné aničky (všechny aničky v Mandelbrotově množině startují z 0). Co se tónu těch nahnědlých barev týče, ty odpovídají tomu, jak rychle ty velké aničky uplavou z oblasti malých čísel.

Dohodněme se, že číslům mezi -100 a 100 budeme říkat malá čísla a podívejme se na dva příklady.

Tady je anička pro 0 a funkci x2+1 (zde je tedy parametr p=1)

0, 1, 2, 5, 26, 677, ...

a tady pro počáteční číslo 0 a funkci x2+2 (zde je parametr p=2)

0, 2, 6, 38, 1446, 2090918, ...

Vidíte, že v prvním případě jsme se z malých čísel vybabrali teprve v u 6. hodnoty (677), zatímco ve druhém "vrhu" se nám to povedlo už u 5. hodnoty (1446). Proto je na obrázku ten puntík nad 1 trochu světlejší než puntík nad 2. Čím rychleji anička (pro danou hodnotu p) unikne z malých čísel, tím je barva tmavší. Prakticky se to dělá tak, že máte někde v počítači uloženou tabulku barev a v tom prvním vrhu prostě obarvíte bodík pátou barvu, zatímco v tom druhém vrhu použijete barvu šestou.

Ty černé body (pro které je příslušná anička malá) reprezentují Mandelbrotovu množinu. Tato množina a její okolí je tedy v jistém smyslu mapou parametrů. Příslušná barva nám říká, jak se pro ten či onen parametr bude anička chovat (za předpokladu, že startujeme z 0).


Juliova množina

Konstrukce Juliovy množiny je o něco jednodušší. Zde si zafixujeme hodnotu parametru p (a tím tedy i funkci x2+p) a budeme sledovat co se s aničkou děje, když budeme startovat z různých počátečních čísel. V první ukázce si vezmeme hodnotu p=-2 a budeme tedy pracovat s funkcí x2-2. Opět si nejdříve vybereme nějaký rozumný interval ze kterého budeme ta počáteční čísla vybírat (a já opět sáhnu po mém oblíbeném intervalu od -9 do 9). Pro každé takové číslo si spočítáme příslušnou aničku (funkci máme zafixovanou) a podle toho, zda vyjde malá a nebo velká tak bodík obarvíme černě a nebo barevně. Ještě jednou zdůrazňuji, že ta čísílka pod bodíky teď neznamenají parametry, ale počáteční čísla.

fracs_jul2.jpg

Z obrázku vidíme, že pro -2,-1,0,1 a 2 dostaneme malou aničku, takže bodíky jsou černé (jako cvičení si spočítejte, že anička pro počáteční bod 2 je pro tuto funkci 2,2,2,2,2,... tedy jasně malá), pro ty ostatní vyjde anička velká a konkretní barva stejně jako u Mandelbrotovy množiny závisí na tom, jak rychle ta anička uplave z malých čísel.

Zatímco Mandelbrotova množina je jen jedna, těch Juliových je hafo (abych to vyjádřil nějak precizně), protože pro každý parametr p dostaneme jinou. Vezměme si třeba hodnotu p=1 (tedy funkci x2+1). Pokud si vybereme stejný interval jako minule, dostaneme tento obrázek.

fracs_jul1.jpg

Všimněte si, že na něm není žádný černý bod - tedy všechny aničky jsou velké. Pokud se divíte jak to, že anička třeba pro 2 není opět malá, jako v předcházejícím příkladě, nezapomeňte, že jsme vyměnili parametr p ve formulce. Když si tu aničku spočítáte pro novou funkci, dostanete:

2, 5, 26, 677, 458330, 210066388901, ...

To, že naše nová Juliova množina nemá černý bod není nic zvláštního - občas se to stává. Třeba třetí až sedmý obrázek z druhé Cesty také nemá žádné černé body.

Můžeme tedy tento paragraf uzavřít zjištěním, že je-li Mandelbrotova množina mapou parametrů, je Juliova množina v jistém smyslu mapou počátečních čísel (pro daný parametr).


A to je vlastně všechno. Jediný rozdíl mezi výše popsanými "hračičkami" a skutečnými množinami je v tom, že u těch skutečných neuvažujeme jen celá čísla, ale bereme v potaz i čísla desetinná a pak v tom, že máme dvě formulky místo jedné. Jak parametry, tak počáteční podmínky jsou potom dvojice čísel a proto barevné diagramy těchto množin odpovídají obrázkům v rovině (a ne na přímce) - tak jak je vidíte na začátku blogu. Filosofie je však pořád stejná - pokud je pro nějakou dvojici čísel anička malá, bod bude černý, pokud je velká, bod bude barevný.

Pár větších obrázků je ke stažení zde.

Autor: Jan Řeháček | sobota 24.1.2015 9:09 | karma článku: 18.25 | přečteno: 907x

Další články blogera

Jan Řeháček

Impresionisté na hladině

Když se na podzim objevily barvy na stromech, všiml jsem si, že se občas zrcadlí v našem potoce či rybníčku. Tak jsem na ně zamířil objektiv a vyšly z toho roztěkané výtvarné kreace, za které by se nemusel stydět ani Claude Monet.

9.3.2024 v 9:09 | Karma článku: 20.23 | Přečteno: 203 | Diskuse

Jan Řeháček

AI Art: co už umí a co ještě ne

Loni jsem trochu experimentoval s malířskými schopnostmi tehdy nastupující generativní AI Art. Letos, za dlouhých zimních večerů jsem si na to vzpomněl a napadlo mne podívat se, jak moc za ten rok AI pokročila. Nu, posuďte sami.

15.2.2024 v 9:09 | Karma článku: 16.53 | Přečteno: 278 | Diskuse

Jan Řeháček

Není větvička jako větvička

Stromy a jejich rozeklaná větvoví jsou sochařská díla. V létě to ale nepoznáte, protože přírodní majstrštyky zakrývá koruna. Jakmile ale podzim povolá svá vojska zpět do zálohy, ladná elegance dřevěných křivek vystoupí do popředí.

9.2.2024 v 9:09 | Karma článku: 19.25 | Přečteno: 337 | Diskuse

Jan Řeháček

Co rok dal

Začátek nového roku je tradičně příležitostí k ohlédnutí za rokem starým, takže jsem prohrábl archív a vylovil z něho pár fotografií z našeho parku, které si nenalezly cestu do některého z předchozích tématických blogů.

9.1.2024 v 9:09 | Karma článku: 16.65 | Přečteno: 166 | Diskuse

Další články z rubriky Věda

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (3) - přírodní červená

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními nebo umělými barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? (délka blogu 3 min.)

28.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 9.57 | Přečteno: 91 | Diskuse

Zdenek Slanina

Problém co začal už Arrhenius: Kysličník uhličitý a doba ledová - a teď i sopečné aktivity

Už S. Arrhenius řešil vztah obsahu CO2 v atmosféře i k době ledové. Tehdy hlavně ukázal, že jeho navyšování v atmosféře povede k nárůstu její teploty. Nyní výzkumy z univerzity v Sydney ukazují na roli sopek v nástupu ochlazování.

26.3.2024 v 5:22 | Karma článku: 23.31 | Přečteno: 505 |

Martin Tuma

Berte Viagru, dokud si na to vzpomenete

Rozsáhlá studie odhalila významné snížení výskytu Alzheimerovi nemoci u pravidelkných uživatelů Viagry

25.3.2024 v 14:17 | Karma článku: 13.60 | Přečteno: 303 | Diskuse

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (2) - průmyslová žlutá

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními nebo umělými barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? (délka blogu 3 min.)

25.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 14.15 | Přečteno: 185 | Diskuse

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (1) - přírodní žlutá

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? První díl seriálu o barvách.

21.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 18.09 | Přečteno: 287 | Diskuse
VIP
Počet článků 400 Celková karma 18.67 Průměrná čtenost 922

Devátý nejhorší kuchař na světě, odpůrce politické překorektnělosti, začínající marťan, neúnavný konzument točeného kyslíku a jazykový dobrodruh ab incunabulis. Člen Analytického piva a Gustavu pro jazyk český. Správce Vojensko-českého slovníku.

Rána pro britskou monarchii. Princezna Kate má rakovinu, chodí na chemoterapii

Britská princezna z Walesu Kate (42) se léčí s rakovinou. Oznámila to sama ve videu na sociálních sítích poté, co se...

Smoljak nechtěl Sobotu v Jáchymovi. Zničil jsi nám film, řekl mu

Příběh naivního vesnického mladíka Františka, který získá v Praze díky kondiciogramu nejen pracovní místo, ale i...

Rejžo, jdu do naha! Balzerová vzpomínala na nahou scénu v Zlatých úhořích

Eliška Balzerová (74) v 7 pádech Honzy Dědka přiznala, že dodnes neví, ve který den se narodila. Kromě toho, že...

Pliveme vám do piva. Centrum Málagy zaplavily nenávistné vzkazy turistům

Mezi turisticky oblíbené destinace se dlouhá léta řadí i španělská Málaga. Přístavní město na jihu země láká na...

Kam pro filmy bez Ulož.to? Přinášíme další várku streamovacích služeb do TV

S vhodnou aplikací na vás mohou v televizoru na stisk tlačítka čekat tisíce filmů, seriálů nebo divadelních...