Matykání: sínus, kosínus, deskriptíva

9. 01. 2017 9:09:09
No tak dobře. Deskriptívu Vám odpustím. Ale na sínus a kosínus se podíváme a při té příležitosti se seznámíme i s druhou základní matematickou konstantou, pí, mezi puberťáky známější pod přezdívkou píčko.

Jednoho dne se Alenka v říši divů probudila a ptáček, co všechno vycvrliká, jí hned po ránu prozradil, že srdcová královna přes noc mávnula kouzelným žolíkem a celá říše divů se několikanásobně zmenšila. Co ještě včera měřilo dva metry, mělo dnes na délku jen něco přes padesát centimetrů.

Alenka se začala podezřívavě rozhlížet kolem sebe, ale protože se sama také zmenšila, ničeho zvláštního si nevšimla.

Domy, které byly ještě včera desetkrát vyšší než ona sama, byly i dnes desetkrát vyšší. Vlk, který byl včera o polovinu nižší než Alenka, byl i dnes o polovinu nižší. A kaštan, který byl až do včerejška dvakrát rozložitější než topol nad řekou, byl stále dvakrát rozložitější než topol nad řekou.

Ani vzájemné úhly se nikterak významně nezměnily. Dvě větve kaštanu, které se včera křížily pod úhlem 35 stupňů, křížily se dál pod přesně tím samým úhlem. Držák lampy trčící kolmo ze stěny hostince s ní i nadále svíral vzorný pravý úhel. A dvě strany střechy spojující se podél hřebene v úhlu 60 stupňů, vytvářely i dnes přesně stejný úhel.

Jako by to mávnutí kouzelným žolíkem nezměnilo ani úhly ani poměry velikostí.

"Kurióznější a kurióznější", pomyslila si Alenka.

Sínus a kosínus

Podobně jako Alenka v říši divů, staří Řekové před mnoha staletími zjistili, že rovnoměrným zvětšováním nebo zmenšováním trojúhelníků se zachovávají jejich úhly. Takovým trojúhelníkům říkáme podobné a platí pro ně, že i poměry jejich stran zůstávají neměnné, ať si máváme kouzelným žolíkem jak chceme. Strana, která byla před zvětšením dvakrát delší, bude stále dvakrát delší. A tak antické vědátory napadlo tyto poměry pro podobné trojúhelníky tabulovat, aby se daly využít pro praktické účely. Například všechny trojúhelníky s úhly 40, 60 a 80 stupňů se budou lišit pouze svojí velikostí, ale poměry stran budou mít vesměs stejné. Pak bychom ze znalosti jedné strany mohli lehce určit strany druhé (což se hodí, pokud se ty druhé strany přímo změřit nedají).

Protože obecných trojúhelníků je příliš mnoho, omezili se Řekové při tabulování na trojúhelníky pravoúhlé, protože u nich stačí znát jen jeden úhel a ty zbývající se snadno dopočítají (jeden je pravý a všechny dohromady musí dát 180 stupňů).

Na obrázku vpravo vidíme příklad skupiny podobných pravoúhlých trojúhelníků (ty větší jsou jen zvětšeninou toho modrého). Všechny mají úhel A vlevo dole, pravý úhel vpravo dole a úhel 90-A vpravo nahoře.

Všechny mají proto přesně stejné i poměry stran, takže stačí znát délku jedné strany - třeba c a ty ostatní už si dopočítáme z poměrových tabulek. Pokud z nich například vyčteme, že pro tento úhel A mají příslušné podobné trojúhelníky poměr stran a ku c roven vždy a:c = 0,8, pak nám stačí vědět, že strana c měří 10 cm a je jasné, že strana a bude splňovat a:10 = 0,8 a bude tedy dlouhá 8 cm.

Tím, že každému úhlu přiřadíme poměr odpovídajících si stran (který je pro všechny pravoúhlé trojúhelníky s daným úhlem stejný), tak z pohledu moderní matematiky vlastně definujeme funkci. Na vstupu zadáme úhel a na výstupu se nám objeví poměr určitých stran.

Stranám pravoúhlého trojúhelníka říkáme z pohledu úhlu A takto: c je přepona, b je přilehlá odvěsna, a je protilehlá odvěsna. Tyto 3 strany můžeme spárovat do 6 různých poměrů a ty budou odpovídat 6 funkcím, kterým říkáme souhrnně goniometrické (v angličtině též trigonometrické).

sin(A) = a:c (sínus je protilehlá ku přeponě)
cos(A) = b:c (kosínus je přilehlá ku přeponě)
tan(A) = a:b (tangens je protilehlá ku přilehlé)
cot(A) = b:a (kotangens je přilehlá ku protilehlé)
sec(A) = c:b (sekans je přepona ku přilehlé)
csc(A) = c:a (kosekans je přepona ku protilehlé)

V praxi se naštěstí používají pouze první tři. Ty zbylé uvidíte jen zřídka (třeba na výstavě matematických kuriozit). A kdo má kuriozity opravdu rád, může se mrknout na některé ještě starší verze trigonometrických funkcí.

Takto definované funkce mají ovšem jeden malý nedostatek. Omezují se pouze na úhly mezi 0 a 90 stupni. V pravoúhlém trojúhelníku nemůžete mít úhel větší než 90 stupňů. A tak dali matematici hlavy dohromady a sestrojili definici goniometrických funkcí, která se pro úhly mezi 0 a 90 stupni překrývá s tou původní, ale jinak je daleko obecnější.

Představte si bod pohybující se po jednotkové kružnici (viz obrázek) z počáteční polohy z (vpravo na ose x) proti směru hodinových ručiček (to je v matematice kladný směr). Polohu tohoto bodu můžeme v každém okamžiku přesně popsat pomocí úhlu, sevřeného odpovídající úsečkou v počátku: bod a odpovídá úhlu A a je jím beze zbytku určen, bod b odpovídá úhlu B atd.

Když si teď spočítáme, jaká je x-ová a y-ová souřadnice bodu a odpovídajícího úhlu A, zjistíme, že je to x=cos(A) a y=sin(A), protože ten vytečkovaný trojúhelník v pravém horním kvadrantu je pravoúhlý a jeho přepona je rovna jedné (kružnice je jednotková). Proto se zde přímo nabízí řešení dívat se na funkce kosínus a sínus jako na x-ovou a y-ovou souřadnici bodu putujícího po kružnici (tady je hezká animace tohoto pohybu).

Takový přístup nám umožňuje definovat sínus a kosínus pro jakoukoliv velikost úhlu A. Pokud je to třeba -500 stupňů, ať se nám panenky trochu protočej, tak prostě s bodem z popojedeme o 500 stupňů po směru hodinových ručiček (to je v matematice záporný směr) a tam, kde se zastavíme, tak odečteme souřadnice x a y a rázem získáme hodnotu obou hlavních funkcí pro -500 stupňů. No a ty zbylé funkce se pak odvodí ze sínu a kosínu pomocí podílů (např. tan(x) = sin(x) / cos(x)) a nebo převrácených hodnot (např. sec(x) = 1/cos(x)).

Následující obrázek nám ukazuje graf obou základních funkcí (pozor úhel na ose x je v radiánech, takže jedno zakmitnutí modré sinusoidy není 360 stupňů, ale 2π radiánů - tedy cca 6,28...)

Je nasnadě, že takto zobecněné funkce se skvěle hodí k popisu vlnění všeho druhu a ke studiu dalších periodických a oscilačních jevů. A kdekoliv se setkáte s kruhovým pohybem, jedna z těch funkcí na vás pravděpodobně taky vybafne.

Rozšířením definičního oboru na všechna reálná čísla jsme si ovšem zadělali na problém s inverzními funkcemi. Zatímco na základním intervalu od 0 do π/2 (pravý úhel) jsou obě funkce prosté, na celé reálné přímce už prosté nejsou, takže pro potřeby inverzních funkcí budeme muset zařadit zpátečku a ten definiční obor zase trochu zúžit, aby se nestalo, že dvě různé hodnoty x se zobrazí na jedno a to samé y.

Jak to zúžení uděláme je vcelku na nás. Nejčastěji se to provede tak, jak je naznačeno na obrázku výše. Části grafu jsou vykresleny tučně a ty reprezentují intervaly, na kterých příslušné funkce prosté jsou (základní interval je jejich součástí jak pro sínus, tak pro kosínus).

Na těchto intervalech už můžeme inverzní funkce lehce definovat (viz obrázek vpravo). Říkáme jim arkus-sínus (arcsin) a arkus-kosínus (arccos). Na některých kalkulačkách jsou také vyznačeny pomocí exponentu -1 (kterým se obecně označují inverzní funkce).

Když se vrátíme k té trojúhelníkové definici, tak goniometrické funkce představují krabičku s trpaslíkem, kterému vhodíte dovnitř úhel a on vám vyhodí poměr určitých stran, zatímco inverznímu trpaslíkovi vhodíte na vstup poměr určitých stran a on vám na výstupu nahlásí úhel.

Při tom si všimněte, že pro obě inverzní funkce ten výstupní úhel na ose y obsahuje základní interval od 0 do 90 stupňů (od 0 do π/2 radiánů). Na obrázku je vyznačen černou dvojšipkou. Díky tomu můžeme vyřešit spoustu jednoduchých geometrických úloh.

Máme-li pravoúhlý trojúhelník s přeponou 3 cm a protilehlou odvěsnou 2 cm, bude poměr jejich délek 2/3 a pokud chceme zjistit úhel A, vhodíme ten poměr do inverzní funkce arcsin a vypadne nám 0,7297 radiánů (což je 41,8°).

+++++++++

Trocha magie

něco pro příznivce píčka

Protože sínus a kosínus jsou funkce definované geometricky, matematiky zajímalo, jak by se daly zapsat pomocí jednoduchých algebraických operací s proměnnou x - tedy zda by se daly vyjádřit jako kombinace jejích mocnin. A ukázalo se, že jsme-li ochotni připustit nekonečný součet, tak to skutečně lze a to pomocí tzv. MacLaurinových řad (kromě sínu a kosínu jsem si jako ukázku vybral ještě přirozenou exponencielu a arkus-tangens). Když si to rozmyslíte, tak ty rovnice (2) a (3) jsou docela překvapivé - celou geometrii můžeme hodit za hlavu a definovat sínus i kosínus čistě pomocí mocnin proměnné x (úhel v radiánech). Ten poslední vzoreček (5) je trochu z jiného soudku. Ten nám ukazuje, jak se sínus dá rozepsat pomocí součinu.

Teď možná přemýšlíte, proč matematici trvají na tom, že úhly by měly být vyjádřeny v radiánech. Částečně je to pro to, že ty vzorečky ve stupních neplatí (respektive musely by se tam přimalovat všelijaké vyrovnávací konstanty). Obecně platí, že pokud manipulujete pouze s úhly, můžete použít jednotky dle libosti. Tam, kde ale mísíte v jednom vzorečku úhly (x) a poměry stran (sin(x)), je nutno použít radiány (radiány vlastně také reprezentují určitý poměr - je to délka kruhového oblouku odpovídající danému úhlu ku poloměru příslušné kružnice).

Zatím vás nebudu unavovat s tím, jak se ty formulky odvodí (k tomu se časem dostaneme), ale podíváme se jak vlastně fungují. Ty pravé strany si můžete představovat jako aproximace daných funkcí, s tím, že čím více členů si vezmete, tím lepší aproximaci získáte.

Vezměme si například úhel x = 0,48 (radiánů). Sínus tohoto úhlu je 0,46178 a pokud si vezmete první tři členy vzorečku (2) a dosadíte x, dostanete prakticky totéž číslo. Ovšem pro vyšší x se ta aproximace postupně zhoršuje. Pro x = 1,8 (radiánů) dostaneme sin(x) = 0,973848, zatímco první tři členy vám dají 0,985464. Přidáte-li ale čtvrtý člen, dostanete 0,973317 a s pátým už jsme skoro doma: 0,973863.

+++++++++

K čemu jsou takové piškuntálie dobré?

Jednak k tomu, abychom se o těch funkcích něco dozvěděli a jednak proto, abychom se následně něco dozvěděli o konstantě π. Tato mystická konstanta lidstvo fascinovala už od dob starých Sumerů a to, že plný úhel (měřený v radiánech) má hodnotu právě 2π naznačuje, proč číslo π ovládá velkou část matematiky. Sínus - jedna z nejdůležitějších funkcí - má totiž kořeny (hodnoty x, pro které je sin(x) roven 0) přesně v násobcích 180 stupňů a to jsou v radiánech právě násobky π.

Pomocí těchto kořenů si můžeme ten nekonečný polynom (2) rozložit na kořenové činitele a tím získáme další zajímavé vyjádření funkce sínus v podobě rovnice (5). Ta nevyjadřuje sínus jako součet mocnin, ale jako součin určitých kvadratických členů (přičemž každý z nich se dá dále rozložit na dva lineární, které si můžeme představit jako zmíněné kořenové činitele).

Abychom do toho lépe viděli, zopakujme si nejdřív, jak rozklad na kořenové činitele vlastně vypadá. Vezměme si třeba kvadratický polynom

p(x) = x² + x - 6

Ten má dva kořeny (hodnoty, pro které je ten polynom roven nule) a to x=2 a x=-3, takže ho můžeme zapsat jako součin kořenových činitelů x-a, kde a je jeden z kořenů (nezapomeňte, že kořeny od x odčítáme, aby se polynom po dosazení kořene vynuloval). Občas můžeme ty kořenové činitele zapsat podobně jako ve formulce (5): (1-x/a). To se hodí hlavně u nekonečných rozvojů, protože takový činitel pak v součinu lépe konverguje. I tento tvar se vynuluje po dosazení x=a. Takže máme:

p(x) = (x-2) (x+3) a nebo alternativně: p(x) = -6 (1 - x/2) (1 + x/3)

Sínus má těch kořenů sice nekonečně mnoho, ale zase se nemusíme otravovat s kvadratickou rovnicí, protože přesně víme, kde se nalézají (v celočíselných násobcích pí), takže sestavit ten kořenový rozklad (5) zase není tak těžké. Nezapomeňte, že podle vzorečku A² - B² = (A-B) (A+B) ten první člen vlastně reprezentuje součin kořenových činitelů pro π a -π, druhý pro 2π a -2π, třetí pro 3π a -3π a tak dále. Pokud vás znepokojuje, že na pravé straně není člen odpovídající tomu nejzákladnějšímu kořenu (x=0), pak vězte, že ten je obsažen ve členu (x-0) kterým jsme celou rovnici vydělili - proto je nalevo sin(x)/x.

Rovnice (5) tedy není nic jiného než rozklad sínu na kořenové činitele (neboli faktorizace funkce sínus). Tohle bylo intuitivně jasné už v 18. století Leonardu Eulerovi, ale opravdový pořádek v tomto problému udělal o století později až německý matematik Karl Weierstrass.

+++++++++

Eulerovi to však stačilo k tomu, aby v roce 1734 sečetl nekonečnou řadu reciprokých čtverců (a tím vyřešil tzv. Basilejský problém). Udělal to celkem fikaně.

V první řadě si vzal formulku (2), vydělil ji x (takže nalevo dostal sin(x)/x) a všiml si, že koeficient stojící u x² je přesně -1/6. A pak se podíval na formulku (5) a řekl si, že stačí tu pravou stranu pečlivě roznásobit, podívat se jaký je koeficient stojící u x² a položit ho roven -1/6, protože v obou případech jsme do nekonečného polynomu rozvedli funkci sin(x)/x. To roznásobení je samozřejmě po čertech těžké, protože máme nekonečně mnoho členů, ale Euler si uvědomil, že nás nezajímá to, jaký bude celkový výsledek toho roznásobení, ale pouze to, jaký bude koeficient u druhé mocniny x.

A to se zjistí daleko snáze.

Když se na ten výraz (5) dobře podíváte, zjistíte, že jediný způsob, jak při tom roznásobování dostat x² je vybrat si z jedné konkretní závorky člen obsahující to x² a ze všech ostatních závorek jedničku. Jinak si tu druhou mocninu prostě nenabrnkáte. Takových členů ale bude celá spousta...

A tak se milý Euler pustil do díla a začal si ty členy obsahující x² zapisovat:

- x²/π² - x²/4π² - x²/9π² - x²/16π² - x²/25π² - x²/36π² - x²/49π² - ...

Po roznásobení celého toho nekonečného součinu dostanete pochopitelně i kupu jiných členů, ale ty budou mít jinou mocninu x a proto nás nezajímají.

Když z toho všeho vytknete x² a položíte to, co vám po vytknutí zbyde (to je ten koeficient) rovno -1/6, dostanete následující rovnici

- 1/π² - 1/4π² - 1/9π² - 1/16π² - 1/25π² - ... = -1/6

Rovnici teď vynásobíme -π² a dostaneme slavný Eulerův součet (první řádek):

Abyste si nemysleli, že to je jediná nekonečná řada, jejímž součtem je výraz obsahující Ludolfovo číslo, připojil jsem ještě další dva příklady. Ten na prostředním řádku dostanete tak, že nahoře do formulky (4) dosadíte x = 1 a uvědomíte si, že arctan(1) je π/4 (neboli 45 stupňů). Tahle řada ovšem konverguje velice pomalu a tak se pro praktický výpočet pí používá spíš řada uvedená na řádku posledním. Ta konverguje podstatně rychleji (tedy potřebujete méně členů k tomu, abyste získali pí na určitý počet desetinných míst).

Pro srovnání: když si spočítáte π podle prvních deseti členů každé řady, dostanete pro tu první 3.057, pro tu druhou 3.232 a pro tu třetí 3.141.

To, že se π vyskytuje v kořenovém rozkladu funkce sínus se dá pochopit. Koneckonců, funkce je odvozena z pohybu po kružnici a kde kružnice, tam pí. Ale to, že se pí dá odvodit z celočíselných řad ukazuje, že toto číslo hraje v matematice podstatně fundamentálnější roli než jen jako pomůcka při studiu kulatých nesmyslů (další zajímavé vztahy pro pí najdete zde).

+++++++++

Trocha poezie

Od té doby, co se lidstvo naučilo počítat píčko na strašně moc desetinných míst, našli se dobrodruzi, kteří se těch strašně moc desetinných míst chtěli naučit nazpamět, aby jimi mohli ohromovat frekventantky odborných hrnčířských učilišť.

Podle Guinnessovy knihy rekordů je držitelem světového rekordu v biflování desetinného rozvoje π jistý Rajveer Meena z Indie, který v roce 2015 dokázal odrecitovat 70 000 Ludolfových číslic! Trvalo mu to 9 hodin a 27 minut. Japonský inženýr jménem Akira Haraguchi jich sice dokázal údajně odříkat 100 000, ale tento údaj Guinnessova kniha nepotvrdila.

Pro nás normální smrtelníky, kteří nemáme tak fenomenální pamět, existují různé mnemotechnické pomůcky, jak si pár úvodních číslic zapamatovat bez trvalých následků na duševním zdraví. Nejznámější z nich jsou krátké věty, ve kterých počet písmen jednotlivých slov odpovídá začátku desetinného rozvoje pí (tam, kde je v desetinném rozvoji nula, uvažuje se obvykle slovo o 10 písmenech). Takovým textům se v angličtině říká piem, což je složenina z výrazů pi a poem (báseň).

Celkem známý piem v angličtině je například tento (3,14159265):

How I wish I could recollect pi easily today!

O něco delší je tenhle (3,141 592 653 589 79):

How I need a drink, alcoholic in nature, after the tough chapters involving quantum mechanics!

Ale i v češtině se dá piem celkem lehce vytvořit - zde na 9 míst:

Sám u sebe v hlavě magického pí číslic deset mám.

a tady dokonce na 30 desetinných míst:

Mám ó bože ó velký pamatovat si takový cifer řad, velký slovutný Archimedes, pomáhej trápenému, dej mu moc, nazpaměť nechť odříká ty slavné sice, ale tak protivné nám, ach, číslice Ludolfovy.

Takový textík se samozřejmě pamatuje snadněji než tok číslovek.

Pokud si chcete vytvořit svůj vlastní piem, nebo dokonce vymyslet v podobném duchu celý román, můžete si opsat pí na milion desetinných míst.

Sekce jauvajs: vzorečky, móc vzorečků

nášup pro milovníky trojúhelníků

Protože síny a kosíny nejsou algebraické funkce, počítá se s nimi trochu jinak než třeba s polynomy. Svět goniometrických vzorečků je jedna obrovská džungle, ve které se občas ztratí i nejeden radiány ošlehaný matematik. Nebudu vás unavovat jejich podrobným výčtem (kdo si nutně potřebuje potýrat ducha, nechť popatří sem), ale abychom si z té džungle odnesli alespoň malý zážitek, vybral jsem si jeden celkem známý vzoreček pro sínus součtu dvou úhlů a podíváme se, jak se taková věcička dokáže (pro rozumné hodnoty úhlů).

Vzoreček nám ukazuje, jak se sínus součtu úhlů vyjádří pomocí těch původních.

sin(A+B) = sin(A) cos(B) + sin(B) cos(A)

Taková identita (rovnice) se dá ukázat mnoha způsoby. Já jsem si vybral jeden, který se navrací k původní trojúhelníkové metodice starých Řeků a je přístupný všem, kdo ovládají středoškolskou geometrii.

Začneme tím, že si zopakujeme, že obsah trojúhelníku se rovná základna krát výška děleno dvěma, přičemž je jedno, kterou stranu si vybereme za základnu. Ten trojúhelník samozřejmě nemusí být pravoúhlý, ale v okamžiku, kdy spustíme výšku tam jeden pravoúhlý trojúhelník dostaneme (viz levá část následujícího obrázku) a ten nám umožní vyjádřit výšku pomocí jedné ze zbývajících stran. Takže pro obsah celého trojúhelníku dostaneme:

P = základna * výška / 2 = c * b * sin(A) / 2

a protože za základnu si můžeme vybrat libovolnou stranu, znamená to, že ten obsah můžeme spočítat tak, že vezmeme součin délek libovolných dvou stran, vynásobíme jej sínem úhlu těmito stranami sevřeného a na závěr vezmeme polovinu.

Pomocí této poučky už tu formulku pro součet úhlů dáme do kupy. Nejprve si vytvoříme následující konstrukci (levá strana obrázku): na vodorovné ose si vybereme libovolně bod P a v něm vztyčíme kolmici. Na ní si opět libovolně zvolíme bod Z a na jedné jeho straně vyměříme úhel A a na druhé úhel B. Přímky vedené pod těmito úhly protnou naši základnu v bodech X a Y. Délku příslušných stran v trojúhelníku XYZ si označíme jako x a y. Tento trojúhelník nemusí být pravoúhlý, ale sestává se ze dvou menších trojúhelníků - XPZ a YPZ - a ty už pravoúhlé jsou a to znamená, že délky jejich stran můžeme dopočítat pomocí goniometrických funkcí (na obrázku uvedeny fialově).

No a teď si spočítáme, jaké jsou obsahy všech tří trojúhelníků pomocí výše popsané poučky (a abych se nemusel tahat s polovinami, budu si hned zapisovat dvojnásobky obsahů P). Pro trojúhelník XYZ si vyberu strany x a y, které svírají úhel A+B. Takže, první strana krát druhá strana krát sínus sevřeného úhlu:

2*P = x*y*sin(A+B)

Pro trojúhelník XPZ si vyberu strany svírající úhel A, s tím, že pro délku té kolmice použiji vyjádření pomocí y, tedy y*cos(B). Dostaneme tak následující obsah Px.

2*Px = x*y*cos(B)*sin(A)

No a pro obsah Py toho trojúhelníku napravo budeme postupovat zrcadlově. Takže ty dvě strany svírající úhel B budou y a x*cos(A), což je ta výška, opět vyjádřená pomocí "druhého" trojúhelníku.

2*Py = y*x*cos(A)*sin(B)

No a závěrem si uvědomíme, že obsah toho velkého trojúhelníku se rovná součtu obsahů těch dvou menších, takže P = Px + Py a tedy:

x*y*sin(A+B) = x*y*cos(B)*sin(A) + y*x*cos(A)*sin(B)

Zkrátíme x*y a máme hotovo. A ani to nebolelo.

+++++++++

Na uklidnění si dnes do třetice všeho dobrého poslechneme Oslí serenádu Rudolfa Frimla. Skladateli tato melodie asi hodně přirostla k srdci, protože ještě před tím, než ji proslavil ve filmu Firefly, tak ji uvedl s úplně jiným textem pod jménem Chansonette.

Předchozí díly Matykání.

Autor: Jan Řeháček | pondělí 9.1.2017 9:09 | karma článku: 22.86 | přečteno: 2804x

Další články blogera

Jan Řeháček

Impresionisté na hladině

Když se na podzim objevily barvy na stromech, všiml jsem si, že se občas zrcadlí v našem potoce či rybníčku. Tak jsem na ně zamířil objektiv a vyšly z toho roztěkané výtvarné kreace, za které by se nemusel stydět ani Claude Monet.

9.3.2024 v 9:09 | Karma článku: 20.41 | Přečteno: 205 | Diskuse

Jan Řeháček

AI Art: co už umí a co ještě ne

Loni jsem trochu experimentoval s malířskými schopnostmi tehdy nastupující generativní AI Art. Letos, za dlouhých zimních večerů jsem si na to vzpomněl a napadlo mne podívat se, jak moc za ten rok AI pokročila. Nu, posuďte sami.

15.2.2024 v 9:09 | Karma článku: 16.53 | Přečteno: 278 | Diskuse

Jan Řeháček

Není větvička jako větvička

Stromy a jejich rozeklaná větvoví jsou sochařská díla. V létě to ale nepoznáte, protože přírodní majstrštyky zakrývá koruna. Jakmile ale podzim povolá svá vojska zpět do zálohy, ladná elegance dřevěných křivek vystoupí do popředí.

9.2.2024 v 9:09 | Karma článku: 19.25 | Přečteno: 337 | Diskuse

Jan Řeháček

Co rok dal

Začátek nového roku je tradičně příležitostí k ohlédnutí za rokem starým, takže jsem prohrábl archív a vylovil z něho pár fotografií z našeho parku, které si nenalezly cestu do některého z předchozích tématických blogů.

9.1.2024 v 9:09 | Karma článku: 16.65 | Přečteno: 166 | Diskuse

Další články z rubriky Věda

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (3) - přírodní červená

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními nebo umělými barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? (délka blogu 3 min.)

28.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 13.21 | Přečteno: 130 | Diskuse

Zdenek Slanina

Problém co začal už Arrhenius: Kysličník uhličitý a doba ledová - a teď i sopečné aktivity

Už S. Arrhenius řešil vztah obsahu CO2 v atmosféře i k době ledové. Tehdy hlavně ukázal, že jeho navyšování v atmosféře povede k nárůstu její teploty. Nyní výzkumy z univerzity v Sydney ukazují na roli sopek v nástupu ochlazování.

26.3.2024 v 5:22 | Karma článku: 25.00 | Přečteno: 519 |

Martin Tuma

Berte Viagru, dokud si na to vzpomenete

Rozsáhlá studie odhalila významné snížení výskytu Alzheimerovi nemoci u pravidelkných uživatelů Viagry

25.3.2024 v 14:17 | Karma článku: 13.60 | Přečteno: 303 | Diskuse

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (2) - průmyslová žlutá

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními nebo umělými barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? (délka blogu 3 min.)

25.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 14.44 | Přečteno: 189 | Diskuse

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (1) - přírodní žlutá

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? První díl seriálu o barvách.

21.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 18.12 | Přečteno: 293 | Diskuse
VIP
Počet článků 400 Celková karma 18.73 Průměrná čtenost 922

Devátý nejhorší kuchař na světě, odpůrce politické překorektnělosti, začínající marťan, neúnavný konzument točeného kyslíku a jazykový dobrodruh ab incunabulis. Člen Analytického piva a Gustavu pro jazyk český. Správce Vojensko-českého slovníku.

Smoljak nechtěl Sobotu v Jáchymovi. Zničil jsi nám film, řekl mu

Příběh naivního vesnického mladíka Františka, který získá v Praze díky kondiciogramu nejen pracovní místo, ale i...

Rejžo, jdu do naha! Balzerová vzpomínala na nahou scénu v Zlatých úhořích

Eliška Balzerová (74) v 7 pádech Honzy Dědka přiznala, že dodnes neví, ve který den se narodila. Kromě toho, že...

Pliveme vám do piva. Centrum Málagy zaplavily nenávistné vzkazy turistům

Mezi turisticky oblíbené destinace se dlouhá léta řadí i španělská Málaga. Přístavní město na jihu země láká na...

Velikonoce 2024: Na Velký pátek bude otevřeno, v pondělí obchody zavřou

Otevírací doba v obchodech se řídí zákonem, který nařizuje, že obchody s plochou nad 200 čtverečních metrů musí mít...

Kam pro filmy bez Ulož.to? Přinášíme další várku streamovacích služeb do TV

S vhodnou aplikací na vás mohou v televizoru na stisk tlačítka čekat tisíce filmů, seriálů nebo divadelních...