Matykání: chcete vidět nekonečno?

Tak jako se každý pohádkový princ musí postavit devítihlavé sani, musí se každý matematik dříve či později popasovat s nekonečnem. A nejen zprostředkovaně - jako že si ho přidá k přátelům na Facebooku nebo si přečte jeho resumé.

Pro většinu lidí je nekonečno něco jako sněžný muž. Párkrát o něm slyšeli, někdo možná zahlédl v muzeu jeho rozmazanou fotografii, ale na vlastní oči ho viděl jen málokdo. A proto Vás dnes pozvu na malou průzkumnou výpravu do mlhavých hor teorie množin a budeme-li mít štěstí, nějakého yettiho se nám podaří vystopovat. Ovšem nekonečno je tvor plachý, takže se vyzbrojte trpělivostí Vinetoua, obezřetností Old Shatterhanda a protřelostí Sama Hawkinse. Jo, a dámy - pokud máte na hlavě klobouk s červeným peřím, tak si jej prosím laskavě odložte v šatně.

V první řadě si musíme otevřeně přiznat, že nekonečno se ve volné přírodě nevyskytuje. Nemá tedy smysl běhat s vibrujícím proutkem po kopcích a stráních a halekat na sebe jako houbaři po dešti. V přírodě sice nalezneme všeliké nevábnosti - sirovodík, praseodym, ropu s prošlou záruční lhůtou, občas i kostřičku potkana - ale na nekonečno nenatrefíme kdybychom na kraj světa došli. Pravda, občas se nám do zorného pole může nachomýtnout nějaké opravdu urostlé numero, která má k nekonečnu poměrně blízko. Můžete si představit třeba počet pískových zrnek na všech plážích světa nebo počet atomů ve viditelné části vesmíru (toto číslo se odhaduje na 10⁸⁰), ale ani tyto hodnoty nám to pravé ořechové nekonečno nenahradí o nic víc než řekněme výše japonského státního dluhu. Zkrátka - tudy cesta nevede.

Ve druhé řadě si tedy vezmeme na pomoc osobní automobil a zaparkujeme jej přes noc na číselnou osu. Na ní bylo totiž nekonečno v roce 1986 naposledy spatřeno. Tady už máme jistou šanci na úspěch, takže začneme brát věci trochu vážněji a na nadcházející výlet se pečlivě připravíme. Pokud jste k nekonečnu ještě nikdy nejeli, doporučuji s sebou vzít spacák, náhradní kuličky do počitadla, dvacet konzerv leča, demižon vody a otvírák na nekonečno.

Připraveni? Tak nastartovat, zařadit jedničku a ať se práší za kočárem. Pokud na to šlápnete a nebudete moc okukovat iracionální čísla, která se Vám připletou pod kola, dojedete první den až ke značce jednoho biliónu. Tam doporučuju přespat. Ráno dohustíte pneumatiky, sníte první lečo a pokračujete dál, močálem temným kolem bílých skal (po cestě se úzkostlivě vyhýbejte prvočíslům, za jejichž nabourání Vám každý číselný policajt napaří z fleku 10 let nucené faktorizace).  Pokud se Vám nic zlého nestane, tak koncem druhého týdne dojedete k patníku, na kterém uvidíte červeným písmem vysázenou hodnotu 650 kvadrilionů. Tady uznale hvízdnete a řeknete si: "no hergot, tady už to nekonečno přece musí někde bejt". Tak si vylezete na kapotu, stoupnete si na špičky, ale ať vejráte jak vejráte stejně dál než za devatero kvintilionů nedohlídnete.

Zatraceně! Nu co naděláme - ani na číselné ose nám zřejmě pšenka nepokvete.

Ve třetí řadě tedy zkusíme jiný přístup. A nebojte se, nemám v úmyslu Vás tahat do garáže, abychom tam něco vydělili podomácku vyrobenou nulou. Půjdeme na to fintou. Co dělají astronomové, když se chtějí podívat na nějakou půvabnou, leč velmi vzdálenou, hvězdu? Myslíte, že se k ní vypraví? Kdepak, oni její světlo proženou dalekohledem. Optika sice velikosti a vzdálenosti trochu deformuje - jinak by se hvězda vůbec neprotáhla čočkou - ale na první očíhnutí kýženého objektu nám to postačí. Ve zbytku blogu si tedy vytvoříme geometrický dalekohled a budeme nekonečno šmírovat zpoza buku jako dávní hvězdopravci.

Na obrázku níže vidíte červenou přímku, což je číselná osa (tak jak ji známe ze základní školy), a dále modrou kružnici, která se za okamžik stane zorným polem našeho dalekohledu. Každý bodík na číselné ose pochopitelně odpovídá jednomu číslu a naopak - každé (desetinné) číslo má na té červené přímce svůj domeček. Na obrázku Vám pochopitelně ukazuji pouze malý kousek číselné osy (od -3 do 3). Její zbytek si musíte představit sami. A co se kružnice týče - na ní jsem pro lepší orientaci vyznačil severní (S) a jižní (J) pól. S dalšími body se seznámíme během konstrukce.

V příštím odstavci se pokusím Vás přesvědčit, že každé číslo z té nekonečné červené přímky má na modré kružnici svůj protějšek (pro 5 náhodně vybraných bodů jsem je zvýraznil barevnými puntíky). Jinými slovy ty červené a modré bodíky se dají spárovat, stejně jako když v tanečních párujete tanečníky a tanečnice.

Spárování provedeme takto. Pro každé číslo (tedy červený bod) si vytvoříme přímku, procházející tímto bodem a současně severním pólem S, a budeme zkoumat její průsečíky s modrou kržnicí. Vezměte si třeba bod a (sedí v hodnotě -2). Přímka procházející tímto bodem a severním pólem protíná modrou kružnici ve dvou bodech. Jedním z nich je pochopitelně sám severní pól a tím druhým je průsečík, který označíme písmenkem A a prohlásíme ho za protějšek (neboli obraz) zvoleného červeného bodíku a. Na procvičení jsem na obrázku vyznačil i kružnicové protějšky dalších náhodně zvolených bodů b, c, d a e (ostatní dvojice si musíte v duchu sestrojit sami). Každé číslo, tedy každý červený bod na přímce (tanečnice), má teď svůj modrý protějšek na kružnici (tanečník). Při tom to spárování je vzájemně jednoznačné - což v podstatě znamená, že každý tanečník má jen jednu tanečnici a naopak. Stejně jako v životě, i v matematice je monogamie žádoucím stavem věcí.

Teď se ale podívejme na jednu zvláštnost. Zatímco každý červený bodík (tanečnice) má na kružnici svůj protějšek, jeden velmi speciální modrý bod (tanečník) zůstal osamocen. Je to severní pól S. S ním žádné číslo netančí.

Podívejme se pomalu, co se bude dít s tanečníkem (modrý bod na kružnici), když jeho tanečnici (červený bod na přímce) budeme postrkovat po červené ose doprava. Začněme třeba v bodě e, který má svůj protějšek na kružnici v bodě E. A teď ten červený bodík (tanečnice) začněte v duchu posunovat po číselné ose směrem k vyšším číslům. Příslušný modrý bodík (tanečník) se bude pomalu posouvat od bodu E k S (tedy směrem severozápadním). Čím je červená tanečnice dál (napravo), tím blíž je modrý tanečník k bodu S (dokud je ale červený bod v nějaké konečné hodnotě, jeho modrý protějšek je stále "těsně před" bodem S). Teprve v okamžiku, kdy s tím červeným bodem dojdete do nekonečna (a to se pochopitelně stane pouze ve vaší představivosti), tak se ten modrý bodík "dotkne" severního pólu (dosáhne "limitní hodnoty").

Jsme tedy vedeni k závěru, že v tomto tanečním spárování odpovídá severní pól S právě vytouženému nekonečnu. Tak se na ten bod S v našem dalekohledu hezky upřeně podívejte - to je totiž přesně obrázek onoho bájného čísla za sedmero horami, které většinou označujeme ležatou osmičkou. A že vypadá docela mírumilovně, co? Když si o tom popřemýšlíte, tak on je to vlastně úplně obyčejný bodík. Však taky nekonečno je v jistém smyslu úplně obyčejné "číslo", akorát je setsakramentsky daleko.

Intermezzo: na to zvláštní postavení severního pólu v této konstrukci se můžete dívat i geometricky. V tom limitním případě, kdy bod E splyne s S, se ta pomyslná černá přímka procházející oběma body stane rovnoběžkou (s červenou přímkou) a protože dvě rovnoběžky se "protínají" v nekonečnu, tak bod S sám o sobě přirozeně odpovídá nekonečnu.

Je také zajímavé, že stejná konstrukce (odborně se jí říká stereografická projekce) se dá provést i z druhé strany (tedy v záporných číslech). I zde zjistíme, že severní pól je metou, ke které náš tanečník doputuje (tentokrát ve směru severovýchodním), pokud jeho tanečnici vyšleme doleva k "mínus nekonečnu". V našem geometrickém dalekohledu tedy plus nekonečno splývá s mínus nekonečnem, protože obě vidíme jako severní pól. Můžete si samozřejmě myslet, že je to pouze optický klam, ale ono je to tak vlastně dobře. Nekonečno - stejně jako Bůh - je lepší když je jenom jedno.

Teď možná namítnete, že tohle všechno bylo zcela zbytečné divadýlko, protože ta kružnice má sama o sobě nekonečně mnoho bodů, takže jsme nekonečno viděli hned ze začátku. Svým způsobem máte pravdu, ale to je trochu jiný typ nekonečna než to, ke kterému jsme na začátku blogu vyrazili modrým autíčkem. Daleko zajímavější je ale jiný fakt. Když si to výše naznačené spárování mezi body přímky a body kružnice promyslíte, zjistíte, že v jistém smyslu má ta kružnice o jeden bod navíc. Severní pól je totiž sám (tančí s nekonečnem), zatímco všechny ostatní body jsou spárované (a když Vám v tanečních po spárování zůstane na parketu trčet tanečník, tak taky víte, že máte v sále o jednoho mládence víc). To je ale zvláštní, nemyslíte? Ve srovnání s neomezenou přímkou je ta kružnice celkem malinká a přesto má o jeden bodík víc. Já se k tomu někdy v budoucnu vrátím, ale pokud chcete, můžete si o tomto paradoxu

zaspekulovat ve své vlastní režii. Z tohoto blogu byste si měli prozatím odnést jen to, že nekonečno nepodléhá zákonům selského rozumu. 

Úplně na závěr ještě jedna malá politická aplikace. Občas tu na blogu slyším názor, že extrémní politická pravice a extrémní politická levice jsou v podstatě jedno a totéž zlo. Pokud si politické spektrum představíme jako přímku, nedává to moc smysl. Extrémní pravice je extrémně vpravo, extrémní levice zase vlevo a zdánlivě nemají nic společného. Když si ovšem ideologické pozice představíte nikoliv na přímce, ale na kružnici - pomocí výše popsané konstrukce - najednou zjistíte, že oba politické extrémy se u severního pólu skutečně setkají. V tomto smyslu je tedy kružnicový diagram věrnější model politické reality než diagram přímkový.

No a aby nám z toho všeho moc netřeštila hlava,
zazpíváme si na závěr s Voskovcem a Werichem jednu starou písničku:

Na Nirvánu, na Olymp, na nebe nevěřím,
když někdo svět pomlouvá, vždycky láteřím.
Nestojím o nekonečno s hvězdami všemi,
stačí mi pár krásných let někde na zemi.

Ostatní díly Matykání.