Matykání: jak se dopočítat nekonečna

V minulém matykání jsme si omrkli nekonečno pomocí geometrie a dnes se mu podíváme trochu na zoubky. Klasická představa je, že nejlépe se k nekonečnu dobereme tak, že před spaním začneme počítat ovečky přecházející po úzkém mostě.

Neusneme-li, máme nekonečno v hrsti. Takový postup sice není z časového hlediska příliš efektivní, ale dá nám pro uchopení nekonečna překvapivě solidní základ. Pokud se nám pro danou množinu (kterou podezříváme z nekonečnosti) podaří zkonstruovat proces, který ze znalosti daného prvku dokáže vytvořit prvek následující (tedy pomyslnou "další ovečku"), máme v podstatě vymalováno. Při tom musíme dávat pozor pouze na dvě věci. Za prvé - abychom se uprostřed počítání nezadrhli, tak ten postup musí být aplikovatelný na všechny prvky dané množiny (ovečky). A za druhé musíme dbát na to, aby to co nám ten postup vyplivne byla skutečně ovečka - tedy prvek stejné množiny - jinak budeme počítat i vlky. Podívejme se na několik jednoduchých příkladů.

Především máme nekonečně mnoho přirozených čísel (tedy čísel jako 1, 2, 3, 4, 5, ...). U piva bych Vám řekl, že tu "další ovečku" dostaneme prostě přičtením 1 k libovolnému číslu. Je jasné, že to můžeme udělat pro každé přirozené číslo a taky že to, co dostaneme nazpátek je opět přirozené číslo. Mimo katastr hospody se to pochopitelně musí ošetřit trochu opatrněji - dělá se to pomocí tzv.  Peanových axiomů - ale varuju Vás, není to moc zábavné čtení. Nicméně myšlenka, že si dokážeme algoritmicky z nějakého daného čísla vytvořit nové číslo stejného typu (tedy další ovečku) se dá aplikovat i na složitější množiny čísel.

Lehce si například rozmyslíme, že lichých čísel (1, 3, 5, 7, 9, ...) je také nekonečně mnoho, protože ke každému lichému číslu můžeme přičíst 2 a dostaneme opět liché číslo (tedy další lichou ovečku). Stejně tak je nekonečně mnoho čtverců (tedy čísel jako 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...) protože kdykoliv si vezmeme nějaké takové číslo, třeba 81 (což je 92), tak stačí vzít základ (zde 9), najít k němu další přirozené číslo v řadě (zde 10), umocnit ho na druhou a hned máme další ovečku - tedy číslo 100 (neboli 102). Je jasné, že tato piškuntálie se dá udělat pro každý čtverec a že jejím výsledkem je opět čtverec.

Ne každá množina, u které máme podezření na nekonečnost, je ale takhle průhledná.

Jsou množiny, kde nám počítání oveček moc nepomůže, protože ta "další ovečka" se těžko hledá. Přesněji řečeno, těžko se hledá postup, který by ty další ovečky generoval automaticky. Nejznámější takovou neprůhlednou množinou jsou prvočísla, což jsou čísla dělitelná pouze sama sebou a nebo jedničkou - tu ale za důvěryhodného dělitele nepovažujeme. Prvních pár si asi pamatujete ze školy (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...) a ty další si můžete prohlédnout na následujícím obrázku. Aby mi čísla nevyběhla z obrazovky, tak jsem číselnou osu nasekal po stovkách do takové vícepatrové garáže. Každý oranžový bodík odpovídá jednomu prvočíslu. Z prostorových důvodů Vám v kolečku ukážu pouze dvě poslední číslovky. Ty před tím si musíte odvodit z předznamenání. Třeba "3xx" označuje čísla mezi 300 a 400 a první prvočísla na tom řádku jsou  307, 311, 313, 317, 331, 337... atd. Na konci každého řádku vidíte počet prvočísel v dané stovce.

(větší obrázek je zde)

Už na první pohled je jasné, že prvočísla žádnou viditelnou strukturu nemají. Když požádáte tříleté děcko, aby na natáhnutý špagát navěsilo lentilky, dostanete zhruba podobný obrázek. Je to množina značně rozháraná a ani po více než dvou tisíciletích intenzivního zkoumání o ní nevíme všechno. Tady se ta další ovečka hledá dost těžko. Je zřejmé, že abychom se od daného prvočísla dostali k tomu dalšímu, nestačí přičíst 2 nebo 4 nebo cokoliv jiného, protože vzdálenosti mezi následnými prvočísly jsou víceméně náhodné a navíc se (v průměru) zvětšují. Všimněte si třeba řádku 13xx - kde je mezi prvočísly 1327 a 1361 mezera složená z 33 složených čísel (technicky takový jev nazýváme odborným termínem "díra jako prase").

V tuto chvíli taky není jasné, zda je prvočísel vůbec nekonečně mnoho. Když se podíváte na celkové počty prvočísel v každé stovce (po pravé straně), vidíte, že jich postupně ubývá (byť je tento proces pomalý a dosti kostrbatý). Je tedy v principu možné, že někde daleko na číselné ose prvočísla prostě "dojdou" a od toho okamžiku už budou všechna další čísla složená.

Než se do tohoto problému ponoříme hlouběji, řeknu Vám jeden starý matfyzácký vtip.

Inženýr, matematik a fyzik narazí v Alpách na černého kamzíka a inženýr radostně vykřikne: "V Alpách žijí černí kamzíci!". Fyzik ho ale krotí v jeho nadšení: "Nepřehánějte, pane kolego. Exaktně vzato můžeme říci pouze to, že v Alpách žije minimálně jeden černý kamzík". Matematik se podrbe na čele a dodá: "Ani to však není zcela přesné. S určitostí můžeme tvrdit pouze to, že v Alpách žije alespoň jeden kamzík, jehož alespoň jedna strana je černá"

Pointa vtipu spočívá v tom, že matematik se na realitu dívá trochu jinak než fyzik nebo inženýr. V aplikovaných vědách je možné odvodit obecné zákonitosti z prostého přezkoumání empirických dat (zde nález černého kamzíka) a následné generalizace. Matematik si to dovolit nemůže, protože celá výpočetní struktura musí být vytvořena z logicky konsistentních a hlavně přesných tvrzení. Jinak by se mohlo stát, že při zabudování vadné součástky (nepravdivého tvrzení) by se celá konstrukce jednoho osudového rána zhroutila, zdánlivě správné výpočty by pozbyly platnost a letadla podle těchto výpočtů postavená by dodatečně popadala.

Přesto se podívejme, jak by se k problému nekonečnosti prvočísel mohl postavit inženýr.

Pokud v jistém okamžiku prvočísla "dojdou", stačilo by kousek za poslední prvočíslo zapíchnout kolík a ukázat, že "za kolíkem" už žádná prvočísla nejsou. Naopak, je-li jich nekonečně mnoho, pak ať zapíchneme kolík jakkoliv daleko, nějaké prvočíslo za ním vždycky najdeme. Mistr inženýr tedy zapíchne kolík na značku jednoho miliónu a pak zaúkoluje učedníka, aby zjistil, zda se za ním ještě nějaké prvočíslo nalézá. Učedník chvilku počítá, provádí různé prvočíselné testy a za chvíli se přihasí s výsledkem: hned kousíček "za kolíkem" jedno prvočíslo nalezl a je to 1 000 003. Mistr tedy posune pomyslný kolík na miliardu, ale i zde učedník za chvíli hlásí nález prvočísla: 1 000 000 007. Mistr se podrbe za uchem a do třetice si vyžádá první prvočíslo za bilionem - a i zde ho učedník po chvíli najde: 1 000 000 000 039. A stejně to dopadne, píchne-li Mistr kolík na trilion nebo dokonce na kvadrilion. Pro prakticky orientovaného ducha už není dál co řešit. Vypadá to, že ať si vezmeme jakkoliv veliké číslo, vždycky za ním nějaké to prvočíslo najdeme. Prvočísel by tudíž mělo být nekonečně mnoho.

Takový postoj je pochopitelný - inženýr nemá čas trávit měsíce hloubáním o nesmrtelnosti chrousta. Musí navrhovat mosty, vrtná zařízení, internetové routery a další vymoženosti moderní civilizace. A pokud něco funguje až do trilionu, nemá cenu z toho dělat problém - kdy se taky v praktickém životě setkáte s hodnotami většími než trilion? Matematik naopak realitou svázán není a z úhelných dolů své mysli se snaží vykutat absolutní pravdu. Aby bylo lépe vidět, proč se při budování vzdušných zámků nemůžeme spolehnout na pouhé ověření několika testovacích možností, ukážu Vám jeden příklad.

Představte si, že máte za domácí úkol sestrojit kvadratický polynom (což je kvadratická rovnice když jí umažete rovnítko), který má tu vlastnost, že kdykoliv do něj dosadíte nějaké přirozené číslo, tak Vám vyjde prvočíslo. Zdrceni obtížným zadáním bloumáte po městě a v jedné postranní uličce se k Vám najednou přitočí takový zakrslý zelenouchý hlavonožec, představí se Vám jako monstrum z galaxie Arkana a nabídne se, že Vám takový polynom za 350 Kč sežene. Tož vysolíte prachy na pařez a monstrum Vám za ně dodá bílý papírový pytlík s následující kvadratickou potvorou:

x2 - x + 41

Hned samozřejmě popadnete kalkulačku a začnete počítat. Dosadíte za x jedničku a dostanete 1-1+41 = 41 a to je prvočíslo! Dosadíte dvojku a máte 4-2+41 = 43 (opět prvočíslo!). Zkusíte trojku: 9-3+41 = 47. Prvočíslo! Zkusíte čtyřku: 16-4+41 = 53. Jakbysmet! Zkusíte pětku: 25-5+41 = 61. A zase prvočíslo. Dalších 33 čísel si pěkně dosaďte sami - myslím od 6 do 38 - a uvidíte, že po každém dosazení Vám vyjde prvočíslo! (tabulka prvočísel je zde). A dál to vezmu zase já. Dosadíme 39 (392 je 1521) a dostaneme: 1521-39+41 = 1523 a to je (že jste to nečekali?) prvočíslo. A teď ještě třeba kulatou 40, to se bude dobře počítat: 1600-40+41 = 1601. Samozřejmě prvočíslo.

V tomto okamžiku předpokládám, že už se mračíte, protože Vás takhle blbě zdržuju. Každej přece vidí, že ten polynom funguje přesně tak, jak monstrum z galaxie Arkana předpovědělo. Tedy ať do něj dosadíte jakékoliv přirozené číslo, vyjde Vám vždycky prvočíslo. Pro inženýra by nebylo co řešit.

Ale matematik se takovým přístupem spokojit nesmí. A poprávu. Monstrum z galaxie Arkana nás totiž utáhlo na vařený nudli. Ten polynom nefunguje pro všechna čísla, i když to tak zatím vypadá. Když do něj dosadíte třeba 127 (to číslo jsem si zcela náhodně vycucal z prstu), dostanete: 16129-127+41 = 16043 a to není prvočíslo, protože 16043 = 61 x 263. To jsou věci, co?

Zkrátka v matematice se nemůžeme spoléhat na empirickou zkušenost. Ani když vyzkoušíme prvních 40 případů. Ani když vyzkoušíme 100 náhodně zvolených případů. Pokud se chceme opravdu přesvědčit, že je prvočísel nekonečně mnoho (což se v tuto chvíli jeví jako pravděpodobnější varianta), budeme to nekonečno muset polapit jinak. Zaženeme ho do kouta pomocí logiky. Ale o tom až v příštím vydání (vyjímečně už ve středu).

ps. Po minulém matykání si jedna čtenářka stěžovala, že nemohla hrůzou dlouho do noci usnout. Pokud se tedy cítíte rozrušeni, pusťte si prosím před spaním uklidňující ukolébavku.

Ostatní díly Matykání.