Matykání: mají zlomky rodiče?

9. 01. 2016 9:09:59
Dnes si posvítíme na jednu z nejfantastičtějších struktur celé elementární matematiky. Nejprve se podíváme na konstrukci racionálních čísel (zlomků) pomocí Fordových kružnic a potom na výsledný Stern-Brocotův strom.

V minulém Matykání jsme si řekli, že racionální čísla tvoří jakousi kostru našeho číselného systému a to přesto, že je jich pouze spočetně mnoho (všech desetinných čísel je nespočetně mnoho). Vlastnosti této kostry určují - stejně jako u lidského těla - strukturu celého systému a proto je jejich poznání klíčem ke studiu reálných čísel.

Protože všechny zlomky větší než 1 (např. 5/3 nebo 21/10) vzniknou jako převrácená hodnota čísel menších než 1 (tedy 3/5 a 10/21), stačí nám pro pochopení struktury racionálních čísel, když se omezíme na zlomky mezi 0 a 1. Pro ty, které jsou větší než 1, pak objevenou strukturu prostě převrátíme vzhůru nohama a pro záporné hodnoty ji opatříme slušivým mínusem.

Bohužel, ve škole se racionální čísla (zlomky) definují způsobem, který jejich vzájemné propojení spíše zahaluje než odkrývá. Když jsem byl na základce, tak nám paní učitelka nejprve vysvětlila, že zlomky dostaneme jako podíly celých čísel a potom nám pro lepší vizuální představu nakreslila na tabuli zhruba tento obrázek: rozdělením jednotkové úsečky na n stejných dílků dostaneme všechny n-tiny (tedy třetiny, čtvrtiny, pětiny atd)

To není špatná představa (a pro přímočarou dětskou duši je možná i stravitelnější), ale má dva lehké nedostatky.

Za prvé: co chvíli musíte zápasit s faktem, že ne všechny zlomky, které si takto nabrnkáte jsou v základním tvaru (tj. nedají se zkrátit). Například pro šestiny je v základním tvaru pouze 1/6 a 5/6. Ostatní se zkrátit dají, takže na dané úsečce vidíme i čísla, která se objevila už v předchozích krocích (např. 2/6 = 1/3).

Za druhé: tím, že pětiny, šestiny, sedminy atd. vyrábíme odděleně, tak není vidět žádné propojení, které by prostupovalo napříč jednotlivými patry. Zlomky si vytváří jakési uzavřené komunity (pětiny kamarádí pouze s pětinami) a jejich globální vztahy jsou zcela neprůhledné.

Oba tyto nedostatky odstraníme, pokud si vytvoříme racionální čísla pomocí Fordových kružnic. Než tak učiníme, podívejme se, jak můžeme s pomocí kružnic zkonstruovat celá čísla.

Mezi dvě přímky "nakutálíme" kružnice a tam, kde se ty kružnice dotýkají podlahy (osy x) si vyznačíme jejich polohu. Pokud si zvolíme jednotky tak, že poloměr kružnic je 1/2 (a tedy průměr je 1), vyjdou nám ty dotykové body přesně v celých číslech: ... -1, 0, 1, 2, 3... (na obrázku jsem ta celá čísla zapsal už jako zlomky). Pro pochopení Fordových kružnic je důležité si uvědomit, že každé další celé číslo - zde na obrázku jsem si vybral číslo 3 - dostaneme tak, že do té štěrbiny vpravo vepíšeme kružnici, která se dotýká následujících tří kružnic: předchozí kružnice, podlahy a stropu (a nezapomeňte, že na přímku se díváme jako na kružnici s nekonečným poloměrem). Taková kružnice existuje právě jedna - ta bleděmodrá. Je to podobné jako když jste na střední škole vepisovali kružnici do trojúhelníku - tam se ta kružnice také musela dotýkat tří objektů. A takto si vytvoříme všechna celá čísla. Postupně vpisujeme další a další kružnice a zapisujeme si do notýsku, kde se dotýkají podlahy (osy x).

Koho zajímají geometrické problémy související s tečnými kružnicemi, může se podívat na Apolloniovu úlohu (anglicky Problem of Apollonius), popřípadě na Descartes' Theorem.

Fordovy kružnice

Fordovy kružnice zobecňují předchozí konstrukci a ukazují, co by se stalo, kdybychom ty kružnice začali vepisovat nejen na konec řady, ale i do mezilehlých prostorů na podlaze.

Protože jsme si řekli, že stačí když pochopíme strukturu racionálních čísel mezi 0 a 1, začneme tím, že si z předchozího obrázku vypůjčíme dva modré kruhy odpovídající 0 a 1, pomalu začneme vpisovat kružnice mezi ně a budeme zkoumat, kde se dotýkají osy x (tedy "podlahy").

Ta první, červená, kružnice je jednoduchá. Celý obrázek je symetrický, protože ty dvě modré kružnice mají stejnou velikost, takže dotek s osou x (podlahou) musí být přesně uprostřed mezi 0 a 1 - tedy v bodě 1/2. A máme první opravdové racionální číslo!

Dál už to ale tak jednoduché není. Ty zelené kružnice už neleží mezi stejně velkými kružnicemi, takže symetrie nám zde nepomůže. Pokud hádáte na 1/4, tak prohádáte zimník. Je potřeba si udělat výpočet. Kdo se na něj chce podívat, může si v závěru blogu přečíst přílohu Jauvajs. Tady Vám jenom prozradím, že ty zelené kružnice se dotýkají podlahy v bodech 1/3 a 2/3. A máme další dvě racionální čísla. A současně další dvě Fordovy kružnice.

Na tomto místě bych rád poznamenal, co je na této konstrukci vlastně fantastického. Ze střední školy se možná pamatujete, že z pohledu analytické geometrie je kružnice popsána kvadratickou rovnicí. Při hledání těch bodů dotyku tedy vpodstatě řešíme soustavy kvadratických rovnic. A to znamená, že nám jako řešení mohou vzniknout odmocniny - tedy čísla iracionální - a to i v případě, že parametry těch kvadratických rovnic jsou celá čísla (viz sekce Jauvajs). Přesto v této konstrukci při hledání dotykových bodů dostáváme pouze zlomky a to je takový malý zázrak. Velký zázrak je pak to, že takto dostaneme úplně všechny zlomky (to ale uvidíme až příště).

Na dalším obrázku Vám ukážu, jak hledání Fordových kružnic pokračuje. V prvním sledu do těch 4 štěrbin z předchozího obrázku vepíšeme 4 fialové kružnice. Tím dostaneme 8 štěrbin a do nich vepíšeme 8 žlutých kružnic. Barevně jsem vyznačil také dotykové body - tedy racionální čísla, které ty kružnice de facto reprezentují.

(větší verze Fordových kruhů je zde)

Za zmínku stojí, že každá zelená kružnice vyprodukuje dvě fialové kružnice po straně. A obdobně každá fialová kružnice dá vzniknout dvěma žlutým. Toto pozorování se nám bude hodit při konstrukci Stern-Brocotova stromu. Na obrázku je teď 16 štěrbin a pokud bychom chtěli, mohli bychom v produkci zlomků pokračovat tak, že bychom do nich vepsali 16 malilinkatých kružnic. A potom 32, 64 a tak dále, až bychom si nasekali všechna racionální čísla mezi 0 a 1.

Všimněte si, že každá kružnice se kromě podlahy dotýká přesně dvou kružnic "nad sebou". To nám umožňuje definovat dva "rodiče" pro každou kružnici a potažmo pro každý zlomek. Na dalším obrázku si to ukážeme ve výřezu.

Mezi podlahu a kružnice odpovídající zlomkům 4/7 a 3/5 jsme vepsali oranžovou kružnici a výpočtem (viz sekce Jauvajs) jsme zjistili, že se tato dotýká podlahy v bodě 7/12. Takže rodiče zlomku 7/12 jsou 3/5 a 4/7. Koho při tom určíme jako tátu a koho jako mámu je věcí konvence. Protože táta je v životě obvykle větší, vyberu pro něj kružnici s větším poloměrem. A protože (jak uvidíme níže) poloměr kružnice odpovídající zlomku a/b je 1/2b², tak za tátu považuji vždy číslo s menším jmenovatelem.

Možná jste si všimnuli, že ten oranžový zlomek vznikne tak, že zlomky rodičovské prostě "blbě sečteme" - jako to dělají někteří lajdáci na základní škole - tedy sečteme čitatele a jmenovatele zvlášť. Zlomky se takhle samozřejmě nesčítají, ale dotykový bod nově zplozené kružnice se přesně takhle spočítat dá (technické podrobnosti v závěru blogu). Díky této vlastnosti také nikdy nedostaneme zlomek, který by nebyl v základním tvaru (tj. který by se dal zkrátit).

Mimochodem, v angličtině se tečným kružnicím říká "kissing circles" (líbající se kružnice), takže vidíme, že na zplození potomka se kružnice nadřou podstatně méně než lidé - stačí se políbit. I s pojmenováním potomka jsou potom menší potíže. Prostě tatínka a maminku "blbě sečteme" a je hotovo. Za domácí úkol si můžete spočítat, jaké zlomky odpovídají těm světle šedým kružnicím (ta nejlevější šedá odpovídá zlomku 19/33).

Ty vepsané kružnice jsou samozřejmě menší a menší a po chvíli nejsou vidět ani na tomto výřezu, takže by se hodil nějaký schematický diagram, kam bychom si mohli zapisovat racionální čísla, tak jak nám je Fordovy kružnice vyplivují. Takový diagram existuje a říká se mu Stern-Brocotův strom (zde je míněn strom binární, nikoliv kaštan)

Stern-Brocotův strom

Stern-Brocotův strom se snaží výše popsanou strukturu zachytit ve formě přehledného diagramu. To se většinou dělá tak, že zaznamenáme pouze pojítko mezi zlomkem a jeho maminkou - koneckonců pupeční šňůra nás poutá také pouze k maminkám. Tatínky si z diagramu musíte odvodit sami (a to tak, že si "nad daným zlomkem" najdete nejbližší zlomek na druhé straně - tedy je-li maminka nalevo, najdete tatínka napravo a naopak).

Nejprve se podívejme na zjednodušenou verzi tohoto stromu, která odpovídá druhému obrázku předchozí sekce. Je s ním i barevně sladěna (tedy modrým kružnicím odpovídají modrá pole atd.)

Na následujícím obrázku přidáme další dvě úrovně. Tentokrát jsem je všechny obarvil žlutě, pouze dva zlomky jsem cvičně označil zeleně, abyste si mohli natrénovat své schopnosti při určování rodičů. Pro tyto dva zlomky jsem obarvil maminky červeně a tatínky modře. Pokud si chcete hledání rodičů dále procvičit, najděte si v levé části spodní řady číslo 4/15. Jeho maminku a tatínka si vyhledejte v diagramu a ověřte si, že když maminku s tatínkem "blbě sečtete" dostanete skutečně 4/15.

(větší verze Stern Brocotova stromu je zde)

Tady vidíte vztahy mezi zlomky jako na dlani. Zlomek 3/7 je tatínkem zlomku 7/16 a zlomek 5/8 je babičkou (z matčiny strany) zlomku 9/14. Z toho školního diagramu by to tak lehce odvodit nešlo.

A závěrem ještě malou zajímavost: v jednom z předchozích blogů fraktální série jsem popsal roli samopodobnosti při vzniku těchto fascinujících geometrických obrazců. Vzhledem k tomu, že fraktály v té sérii jsou generovány pomocí prosté kvadratické rovnice, nabízí se otázka, kde se v těch rovnicích ta samopodobnost bere. A tady vidíme odpověď. Ona není v těch rovnicích. Ta samopodobnost je zabudována přímo v našem číselném systému.

Každý úplný binární strom je totiž samopodobný - to znamená, že jeho části jsou podobné celku. Když se postavíte do dvou libovolných uzlů - třeba do těch, co jsou na předchozím obrázku označeny modře - a podíváte se pod sebe, tak vidíte v podstatě identickou strukturu: dva uzly přímo pod sebou a z každého vybíhají další dva uzly, a z nich zase dva poduzly a tak dále až do nekonečna. Konkretní čísla, která pod sebou vidíte, jsou pro ty dva modré uzly samozřejmě jiná, ale základní struktura grafu je stejná.

Ono se to ale i s těmi různými čísly dá ještě zaonačit následujícím fíglem.

Představte si, že jste v Londýně a vidíte budovu, která se nápadně podobá květinářství, pouze je na ní napsáno "Flower Shop". Kdyby se jmenovala "Květinářství", tak koukáte na přesnou kopii toho, co máte doma na rohu. A tomu se dá pomoci tím, že si výraz "flower shop" naťukáte do google translátoru - a ejhle: dostanete skutečně "květinářství". Takže ty dvě prodejny jsou si nejen podobné, ony jsou po příslušném překladu takřka identické. Ale museli jsme trochu ťuknout.

A s tím stromem to funguje obdobně, jen si musíme najít vhodný překladač. Dá se najít zázračná formulka, která Vám všechny zlomky pod prvním modrým bodem (1/3) převede na ty druhé (pod 3/4). A není ani moc komplikovaná - je to podíl dvou lineárních polynomů.

(-3x+2) / (-5x+3)

Když do ní za x dosadíte 1/3, dostanete 3/4. Modrý bod se převedl na modrý bod. A teď se podíváme pod ně. Dosadíme-li 1/4, dostaneme 5/7 a když dosadíme 2/5, vyjdou nám 4/5. Zatím dobrý - všechno šlape. Uzly, které mají stejnou pozici vzhledem k oběma modrým bodům se skutečně převádí na sebe. A teď se podíváme o úroveň níž. Udělejte z prvního modrého bodu cik-cak a dostanete se do 3/8. Ty si dosadíme do formulky a vyjde nám 7/9. A to je přesně stejné cik-cak z druhého bodu! Pokud si stále myslíte, že je to podvod, zkuste další úroveň. Do formulky dosadíme třeba 4/9 a vyjde nám 6/7. Přesně bod, který očekáváme! Jinými slovy, ten vzoreček nám přesně převede všechny zlomky pod prvním modrým bodem na odpovídající zlomky pod tím druhým.

Kouzlo? Bezesporu. Matematika je plná kouzel.

Wikipedia: Ford Circles
Wikipedia: Stern-Brocot Tree

Příloha: Jauvajs! To bolí! Do hlavy ne!

(pouze pro otrlé)

Pro zájemce ještě pár technických detailů o tom, jak se ty dotykové body počítají.

Představme si, že máme dvě líbající se kružnice (viz obrázek níže) a chtěli bychom spočítat, kde leží kružnice, která tímto polibkem vznikne - tedy ta, která je vepsaná mezi ně a podlahu (ta oranžová).

Nejdříve si musíme zavést značení. Ta první kružnice bude mít střed v bodě (a/b, 1/2b²) a ta druhá v bodě (c/d, 1/2d²). Pokud Vás zajímá, odkud se vzal ten výraz pro druhou souřadnici, pak vězte, že u těch prvních (modrých) kružnic nahoře je to vidět přímo z geometrie - např. kruh pro bod 0 má střed v bodě (0/1,1/2). U těch dalších to pak vyplývá z výpočtu. Celkově nám první (x-ová) souřadnice středu ukazuje, kde se kruh dotýká podlahy a po ní tedy paseme především - jak za chvíli uvidíme, je to vždy nějaký zlomek. Druhá souřadnice - jak již bylo naznačeno - se pak dopočítá a je vždy rovna výrazu: jedna lomeno dvakrát jmenovatel toho zlomku na druhou.

A ještě jedna vlastnost je pro konstrukci důležitá. Pokud se dvě Fordovy kružnice dotýkají, tak x-ové souřadnice jejich středů, tedy a/b a c/d, splňují vztah (ad-bc)²=1. U těch prvních kružnic je to opět vidět z geometrie (jsou to kružnice reprezentující čísla 0/1 a 1/1) a pro ty další to vyplyne z výpočtu (proč je to důležité uvidíme příště).

A teď už k vlastní konstrukci.

Fialová a žlutá kružnice jsou zadány (takže čísla a,b,c,d známe) a my chceme spočítat kružnici oranžovou, která se dotýká podlahy (osy x) a obou daných kružnic. To znamená, že chceme znát souřadnice jejího středu (x,y) a poloměr r (tím bude kružnice plně určená). Na první pohled máme tři neznámé (x,y,r), takže bychom potřebovali tři rovnice. Naštěstí z toho, že kružnice se dotýká podlahy (osy x) vyplývá, že její poloměr je roven souřadnici y, takže máme jen dvě neznámé (x,y) a stačí nám tedy pro ně najít dvě rovnice. Ty dvě rovnice vyplynou z Pythagorovy věty pro dva pravoúhlé trojúhelníky vyznačené šedě na obrázku. Vodorovná přepona je rozdíl x-ových souřadnic, svislá je rozdíl y-ových a přepona je součet poloměrů. Protože poloměr je ale roven y-ové souřadnici středu, je přepona rovna součtu těchto souřadnic.

Když si tuto slovní verzi Pythagorovy věty přepíšeme do symbolů, dostaneme dvě kvadratické rovnice - jednu pro každý šedý trojúhelník. To jsou ty modré rovnice. No a zbytek je už jen algebraická manipulace. Nejprve ty dva členy s y roznásobíme a obě modré rovnice zjednodušíme na ty červené. Pak tu první červenou vynásobíme b² a tu druhou d² a protože obě rovnice budou mít napravo 2y, jejich levé strany se také musí rovnat a to nám dá zelenou rovnici. Tady už jsme vyeliminovali y, takže máme pouze jednu rovnici pro jednu neznámou (a,b,c,d jsou daná čísla).

A teď už si jen uvědomíme, že pokud se ty dva zelené čtverce rovnají (symbolicky L²=P²), tak je buď levá závorka stejná jako ta pravá (L=P) a nebo se závorka nalevo rovná mínus závorce napravo (L=-P). Odtud dostaneme dvě řešení, která jsou zapsána černě. To první nám dá oranžovou kružnici (vidíte v něm oba zlomky "blbě sečtené"), zatímco to druhé představuje kružnici červenou (která se také dotýká obou kružnic a podlahy, takže není divu, že nám vyjde v řešení). Koneckonců máme kvadratickou rovnici, takže dvě řešení nás nesmí překvapit.

Nakonec dosadíme právě spočítané x do jedné z těch červených rovnic a dopočítáme y. Je to jen trocha algebry, takže to nechám na vás, ale budete při tom v závěru potřebovat výše zmíněný vztah (ad-bc)²=1.

A to už je pro dnešek opravdu vše.

V minulém Matykání jsme se rozloučili disco-ukolébavkou a pokud při ní někdo náhodou usnul, tak nechť si laskavě nařídí disko-budíček. Blondie: Dreaming (prosinec 1979)

Předchozí díly Matykání

Autor: Jan Řeháček | sobota 9.1.2016 9:09 | karma článku: 26.63 | přečteno: 1709x

Další články blogera

Jan Řeháček

Impresionisté na hladině

Když se na podzim objevily barvy na stromech, všiml jsem si, že se občas zrcadlí v našem potoce či rybníčku. Tak jsem na ně zamířil objektiv a vyšly z toho roztěkané výtvarné kreace, za které by se nemusel stydět ani Claude Monet.

9.3.2024 v 9:09 | Karma článku: 20.41 | Přečteno: 205 | Diskuse

Jan Řeháček

AI Art: co už umí a co ještě ne

Loni jsem trochu experimentoval s malířskými schopnostmi tehdy nastupující generativní AI Art. Letos, za dlouhých zimních večerů jsem si na to vzpomněl a napadlo mne podívat se, jak moc za ten rok AI pokročila. Nu, posuďte sami.

15.2.2024 v 9:09 | Karma článku: 16.53 | Přečteno: 278 | Diskuse

Jan Řeháček

Není větvička jako větvička

Stromy a jejich rozeklaná větvoví jsou sochařská díla. V létě to ale nepoznáte, protože přírodní majstrštyky zakrývá koruna. Jakmile ale podzim povolá svá vojska zpět do zálohy, ladná elegance dřevěných křivek vystoupí do popředí.

9.2.2024 v 9:09 | Karma článku: 19.25 | Přečteno: 337 | Diskuse

Jan Řeháček

Co rok dal

Začátek nového roku je tradičně příležitostí k ohlédnutí za rokem starým, takže jsem prohrábl archív a vylovil z něho pár fotografií z našeho parku, které si nenalezly cestu do některého z předchozích tématických blogů.

9.1.2024 v 9:09 | Karma článku: 16.65 | Přečteno: 166 | Diskuse

Další články z rubriky Věda

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (3) - přírodní červená

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními nebo umělými barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? (délka blogu 3 min.)

28.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 13.16 | Přečteno: 128 | Diskuse

Zdenek Slanina

Problém co začal už Arrhenius: Kysličník uhličitý a doba ledová - a teď i sopečné aktivity

Už S. Arrhenius řešil vztah obsahu CO2 v atmosféře i k době ledové. Tehdy hlavně ukázal, že jeho navyšování v atmosféře povede k nárůstu její teploty. Nyní výzkumy z univerzity v Sydney ukazují na roli sopek v nástupu ochlazování.

26.3.2024 v 5:22 | Karma článku: 24.46 | Přečteno: 516 |

Martin Tuma

Berte Viagru, dokud si na to vzpomenete

Rozsáhlá studie odhalila významné snížení výskytu Alzheimerovi nemoci u pravidelkných uživatelů Viagry

25.3.2024 v 14:17 | Karma článku: 13.60 | Přečteno: 303 | Diskuse

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (2) - průmyslová žlutá

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními nebo umělými barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? (délka blogu 3 min.)

25.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 14.44 | Přečteno: 189 | Diskuse

Dana Tenzler

Barvy v kuchyni (1) - přírodní žlutá

Blíží se Velikonoce. Napadlo vás někdy, čím se vlastně barví velikonoční vajíčka? Jakými přírodními barvivy se dá jídlo barvit dnes a jak tomu bylo v minulosti? První díl seriálu o barvách.

21.3.2024 v 8:00 | Karma článku: 18.12 | Přečteno: 293 | Diskuse
VIP
Počet článků 400 Celková karma 18.73 Průměrná čtenost 922

Devátý nejhorší kuchař na světě, odpůrce politické překorektnělosti, začínající marťan, neúnavný konzument točeného kyslíku a jazykový dobrodruh ab incunabulis. Člen Analytického piva a Gustavu pro jazyk český. Správce Vojensko-českého slovníku.

Smoljak nechtěl Sobotu v Jáchymovi. Zničil jsi nám film, řekl mu

Příběh naivního vesnického mladíka Františka, který získá v Praze díky kondiciogramu nejen pracovní místo, ale i...

Rejžo, jdu do naha! Balzerová vzpomínala na nahou scénu v Zlatých úhořích

Eliška Balzerová (74) v 7 pádech Honzy Dědka přiznala, že dodnes neví, ve který den se narodila. Kromě toho, že...

Pliveme vám do piva. Centrum Málagy zaplavily nenávistné vzkazy turistům

Mezi turisticky oblíbené destinace se dlouhá léta řadí i španělská Málaga. Přístavní město na jihu země láká na...

Kam pro filmy bez Ulož.to? Přinášíme další várku streamovacích služeb do TV

S vhodnou aplikací na vás mohou v televizoru na stisk tlačítka čekat tisíce filmů, seriálů nebo divadelních...

Velikonoce 2024: Na Velký pátek bude otevřeno, v pondělí obchody zavřou

Otevírací doba v obchodech se řídí zákonem, který nařizuje, že obchody s plochou nad 200 čtverečních metrů musí mít...