Matykání: imaginární módní přehlídka

Zajímá vás jaké barvy se letos budou nosit v komplexní rovině? Přemýšlíte jaký střih zvolit pro kacabajku z hyperbolických kosínů? Nevíte, jaký je ten správný doplněk k množině všech kořenů? Nuže vstupte, jste na správné adrese.

První imaginární módní přehlídku popsal Hans Christian Andersen ve známé pohádce "Císařovy nové šaty". Jak dopadla všichni dobře víme: kde nic není ani čert (natož matematik) nebere. Zlé jazyky dokonce tvrdí, že v závěru musela zasahovat dánská mravnostní policie. Abych se tedy nedostal do křížku se zákonem, podíváme se dnes na jiný typ imaginární garderoby - na grafy komplexních funkcí.

O tom, že komplexní funkce dokáží být zdrojem nevšedního estetického zážitku svědčí například fraktály, jejichž nejznámější ukázky se dají vytvořit jejich iterací. V tomto článku se pokusím vás přesvědčit, že i prostý graf komplexní funkce dokáže pošimrat vaše umělecké alter-ego, pokud se správně zobrazí.

Já vím, jen stěží si lze představit, že by na střední škole nějaká frekventantka vzdychla - "jé holky, koukněte se na tu sinusoidu - tu bych chtěla mít na šatech". Ale to je proto, že funkce probírané na gymnáziu jsou v podstatě jednorozměrné a na reálné ose se z jejich chování moc zázraků vykouzlit nedá. V komplexní rovině má Matička Estetika podstatně víc příležitostí k elegantním kreacím.

V první části dnešního blogu vám ukážu několik způsobů, jak si můžete komplexní funkce vizuálně představit a potom se podíváme na pár ukázek techniky zvané "barvení definičního oboru" (domain coloring) v těch nejživějších odstínech.

+++++++++

Znázornění komplexních funkcí

Zobrazení reálných funkcí nepředstavuje žádný problém. Nezávisle proměnná (vstup) na jednu osu, závisle proměnná (výstup) na druhou a než bys řekl švec, máme tradiční graf v rovině x-y. Komplexní čísla jsou ovšem sama o sobě body v rovině, takže na analogický "obrázek" bychom potřebovali čtyři souřadné osy - dvě na vstupní rovinu a dvě na výstupní. S trochou nadsázky by se dalo říci, že pokud si dokážete představit komplexní funkci, jste na nejlepší cestě k pochopení čtyř-rozměrného prostoru.

To je pro běžného smrtelníka, žijícího ve třech dimensích vážný problém a tak si matematici postupem času vyvinuli několik metod jak to čtyř-rozměrné zobrazení obejít - tak aby jim oči nešly šejdrem, ale mozek získal jakous takous představu, jak ty komplexní funkce vlastně fungují.

Začneme nejjednodušší variantou.

Čtyřrozměrný obrázek rozdělíme na dva trojrozměrné (3D).

Komplexní funkce w=f(z) je de facto formulka, která vstupnímu komplexnímu číslu z přiřadí výstupní číslo w. Vstupní komplexní proměnnou z zobrazíme v tradiční rovině x-y a na svislou osu obou 3D obrázků pak pro každé z vykreslíme dvě souřadnice, které určují výstupní hodnotu w.  V prvním komplexním Matykání jsme viděli, že souřadnice se dají zavést dvěma způsoby. Buď použijeme kartézský systém (tedy tradiční x a y) a nebo polární (úhel a poloměr) - viz první obrázek.

Jako první si na trojrozměrný paškál vezmeme souřadnice kartézské. Těm se v komplexní hantýrce místo x a y říká reálná a imaginární část (komplexního čísla).

Na dalším obrázku je graf komplexní funkce w=z2, s tím, že nalevo vidíme na svislé ose reálnou složku výstupní hodnoty Re[w] a napravo složku imaginární Im[w]. U takto jednoduché funkce můžeme ty komponenty přímo spočítat a dostaneme w=z2=(x+iy)2=x2-y2 + 2xyi. Pokud dobře ovládáte funkce dvou (reálných) proměnných, můžete si tedy reálnou složku představit jako f(x,y)=x2-y2 a imaginární jako g(x,y)=2xy. Výsledný 4D obraz komplexní funkce si samozřejmě musíte složit sami ve své vlastní představivosti.

Na dalším obrázku je totéž pro funkci w=sin(z). Její graf je sice charakteristicky zvlněný, ale když budete na reálné ose (y=0) hledat tu tradiční sinusoidu, neuvidíte ji, protože její kmitání mezi -1 a 1 je v měřítku svislé osy takřka nepostřehnutelné. V komplexních číslech se sinusoida dokáže vybudit k podstatně větším hodnotám, takže ty její tradiční vlnky v reálných číslech působí jako taková tintítka.

A teď zkusíme to rozdvojení pohledu s polárními souřadnicemi.

V rovině x-y si opět vybereme nějaký vstup z=x+iy a na svislou osu obou obrázků tentokrát vyneseme polární souřadnice výstupní proměnné w. Nalevo vykreslíme polární poloměr Abs[w] a napravo polární úhel Arg[z] pro funkci w=z2.

Vidíte, že ten úhel je jakoby "přetržený". To není proto, že by ta funkce byla nespojitá, ale proto, že nespojitý je sám úhel. Pokud si představíte, že pochodujete podél jednotkové kružnice a zaznamenáváte si svou polohu pomocí úhlu sevřeného v počátku, tak v jistém okamžiku budete muset "skočit" z 360 zpátku do 0 (měřeno ve stupních). Taková je bohužel povaha úhlové míry.

V mnoha případech nám ale stačí, když pochopíme alespoň absolutní hodnotu na výstupu z naší funkce. Na další dvojici obrázků je tato znázorněna (již bez úhlu) pro dvě vyšší funkce: Zeta a Gamma (viz Matykání o kořenech). U Zeta funkce je patrný pól v bodě z=1. U Gamma funkce si všimněte, jak rychle pro x>0 roste. Je to koneckonců spojitá verze faktoriálu (ty komínky vlevo odpovídají pólům v záporných číslech)

Ta nespojitost ve znázornění úhlu se ale matematikům moc nelíbila a tak si na to konto koncem 90. let vymysleli báječnou vychytávku. Někdo si povšiml, že v grafických programech se často používá tzv. barevné kolo (color wheel), které má tu skvělou vlastnost, že zobrazuje úhly na barvy spojitě. Jinými slovy, když si projdete těch 360 stupňů, tak jste zcela bezbolestně zpátky ve stejné barvě a nemusíte skákat z hodnoty 360° do 0°.

Takže my si ten polární úhel Arg[z] můžeme znázornit tak, že příslušný pixel sedící v bodě z=x+iy obarvíme barvou, která odpovídá úhlu výstupní proměnné w. A žádnou svislou osu, na kterou bychom museli tlačit stupně nebo radiány nebudeme vůbec potřebovat.

Na dalším obrázku vlevo je to znázorněno pro nejjednodušší funkci a to je w=z. Výstupní w je tedy to samé co vstupní z a to znamená, že všechny polopřímky vycházející z počátku budou mít stejnou barvu (protože body na těch polopřímkách sedící mají stejný polární úhel).

Na obrázku vpravo je totéž pro funkci w=exp(z). Z minulého Matykání vyplynulo, že komplexní exponenciela má tvar exp(x+iy) = exp(x).exp(iy), což naznačuje, že všechny vstupní body ležící na jakékoliv horizontální přímce (s konstantním y) se zobrazí na komplexní číslo se stejným úhlem. Proto je na tom obrázku každá horizontální přímka obarvená jen jednou barvou.

Většina grafů níže bude založena na tomto principu. Pokud je chcete opravdu pochopit, dobře si tu předchozí pasáž rozmyslete.

Polární úhel je ale pouze polovina informace o výstupní proměnné. Samozřejmě bychom mohli ty barevné obrázky obsahující informaci o chování Arg[f(z)] doplnit o grafíky absolutní hodnoty Abs[f(z)] (a dostat tak dvojobrázek - obdobně jako pro kartézské souřadnice), ale matematici se neradi dívají na dva obrázky současně a tak se rozhodli informaci o chování absolutní hodnoty vpašovat do těch barevných schemat pomocí šrafování, které bude indikovat (obvykle na logaritmické škále) jak absolutní hodnota stoupá.

Ovšem pozor, to šrafování budeme muset periodicky vynulovat, jinak by nám obrázek velmi rychle "zčernal". Nejlépe si ho můžete představit jako vrstevnice. Když je protínáte, absolutní hodnota stoupá (či klesá), pokud se pohybujete "podél" nich, absolutní hodnota na výstupu bude zhruba stejná.

Na obrázku vlevo vidíte to šrafování opět pro funkci w=z, kde absolutní hodnota stoupá podél paprsků z počátku (na každé kružnici se středem v počátku je absolutní hodnota konstantní). Vpravo je totéž pro funkci w=exp(z) a tady je absolutní hodnota konstantní pro každé pevné x (člen obsahující y totiž leží na jednotkové kružnici, takže jeho absolutní hodnota je 1). Také si všimněte, že to šrafování je v podstatě vertikální (Abs(w) tedy stoupá, pohybujeme-li se podél osy x).

Než se podíváme na vlastní módní přehlídku, chci vám ukázat ještě jeden způsob zobrazování komplexních funkcí.

Místo, abychom ty výstupní hodnoty w roztrhli na dvě souřadnice a vykreslili každou odděleně, pokusíme se pochopit způsob, jakým naše komplexní funkce zobrazuje vstupy na výstupy.

Za tím účelem si vytvoříme dvě kopie komplexní roviny - jednu pro vstupy (in) a jednu pro výstupy (out). No a teď si v té vstupní vybereme nějaké body z (třeba ten modrý a červený), hodíme je do funkce a to co nám z ní vyleze - tedy výstupní hodnoty w - zobrazíme ve výstupní rovině.

Ale protože dělat to jen pro individuální body nám toho moc nepoví, můžeme si vzít nějaký geometrický útvar - např. úsečku mezi těmito body - a také ji hezky bod po bodu pomocí naší funkce zobrazit.

Tento trik nám sice dává celkem zajímavou informaci o tom, jak naše funkce páruje vstupy a výstupy, ale je potřeba do toho vnést trochu pořádek. Tedy nebrat si jen tak nějakou úsečku mezi dvěma náhodně zvolenými body, ale postupovat systematicky.

Vybereme si několik úseček podél souřadnicových os (a můžeme je klidně barevně odlišit) a ty pak opět bodu po bodu zobrazíme do výstupní roviny pomocí naší komplexní funkce. Na obrázku níže je to provedeno pro náhodně vybranou kubickou funkci.

Takový diagram nám ukáže, jak funkce f(z) v komplexní rovině operuje.

V obrázcích níže budu používat převážně ty šrafované polární "barvičky", ale pro lepší orientaci do toho občas přimíchám pár zobrazení souřadnicových úseček (nechám je ovšem tenoulinké, aby se moc netloukly s tím šrafováním).

+++++++++

Imaginární módní přehlídka

Prohlídku podzimní kolekce začneme jedoduchými mocninami. Na rozdíl od funkce f(z)=z se tady ty barvy prostřídají dvakrát, resp. třikrát. To je proto, že funkce f(z)=z2 zdvojnásobuje úhly: napište si polární formu z=r.exp(it), umocněte ji na druhou a podívejte se, co to udělalo s téčkem (zdvojilo ho to). Tím pádem tam, kde vstupní proměnná z proběhne úhel od 0° do 360°, výstupní w se protočí od 0° do 720°. No a v té kubické funkci se barvy ze stejného důvodu protočí třikrát.

Ta předchozí dvojice obrázků je trochu nudná, protože obě mocniny mají kořeny v nule (a nikde jinde). Na dalším dvojobrázku uvidíte polynomy, které mají kořeny různě rozseté po komplexní rovině. Ten vlevo je má v bodě 1 a -1, ten vpravo v bodech 1,-i a 0 (když se pozorně podíváte, tak je naleznete).

Na dalším obrázku se podíváme na rozdíl mezi kořeny (kde je f(z) rovna nule) a póly (kde je f(z) rovno nekonečnu). Vzal jsem si dva kvadratické polynomy a vlevo vykreslil jejich součin, vpravo jejich podíl. Součin má 4 kořeny (1,-1,i,-i), zatímco podíl má dva kořeny (i,-i) a dva póly (1,-1).

Exponencielu jsme viděli nahoře - ta sama o sobě moc zajímavá není - ale pokud do ní ještě nacpete nějaký kvadratický člen (nebo dokonce kosínus), tak se i ona v komplexní rovině ráda rozdovádí.

Další pán na holení bude sínus a jeho hyperbolický bratr sinh(z). V minulém Matykání jsem vám ukázal, že v komplexní rovině je sínus a hyperbolický sínus prakticky ta samá funkce (akorát překlopená o 90°) a z toho obrázku dole to celkem lehce vidíte. Tu klasickou periodicitu sínu vidíte vlevo podél osy x ("oční" vzorek se tam opakuje s periodou 2?).

Dále vám nabídnu tangens, který je podílem sínu a kosínu. A pokud je vám to málo, vyšperkoval jsem ho v pravé části opět malým kvadratickým členem.

Pokud do toho tangensu narvete racionální funkci (tj. podíl polynomů), podaří se vám vykouzlit už celkem zajímavé umělecké dílko.

Tak a teď vzhůru na vyšší funkce. Gamma je sice celkem fádní, ale když do ní "přisypete" sínus a kosínus, tak umělecky trochu "prokoukne".

To Zeta funkce je zajímavá sama o sobě (pro ni vám ukážu trochu větší kus komplexní roviny). Ten čudlík uprostřed odpovídá jejímu pólu v bodě z=1 a konce barevných jazyků odpovídají tzv. netriviálním kořenům (o nich bude přespříští Matykání).

I tetička Zeta však vypadá pohledněji, když do ní strčíme nějaký ten polynom.

Asi jste už zjistili, že obecně platí - čím složitější funkce, tím zajímavější a členitější její "polární graf" je. Proto jsem pro Vás na závěr vybral exponencielu, do které jsem narval součet kosínu a kvadrátu a ještě jsem to celé vydělil zetkem - ať nežeru.

Pokud vás takovýto způsob zobrazení komplexních funkcí zaujal (nebo se ho dokonce chystáte využít v oboru módního návrhářství), doporučuji juknout na Wikipedii a zejména si pročíst externí linky uvedené v závěru.

Wikipedia - domain coloring

(já jsem použil softvér Mathematica - podrobnosti zde nebo zde nebo zde)

Ty algoritmy na barevné provedení polárního úhlu i znázornění absolutní hodnoty se trochu mění. Pokud použijete to první "zde", dostanete zhruba tento typ obrázků:

+++++++++

Když jsem si tak prohlížel ty výtvory, vzpomněl jsem si na verš "nardem voní kůže hladká" a to rozhodlo o dnešní písni na uklidněnou. Marta Kubišová: Magdaléna.

Předchozí díly Matykání.