Matykání: Alenka ve více-rozměrné říši divů

Sféra. Na první pohled by se řeklo nuda. Ze všech stran vypadá stejně, nemá ani rohy, ani hrany. Ale nenechte se odradit. I tahle šedá myška nás dokáže svými vlastnostmi překvapit, neřkuli šokovat, oblékne-li se do více dimenzí.

Bylo tropické červnové odpoledne. Břízy šuměly, školní rybníček zpíval svou podmanivou píseň, vypreparované cikády v přírodopisném kabinetu toužily po svém milenci špendlíku a učebna voněla skořicí a křídou. Nad tím vším vznášel se monotonní výklad kantorův od vzdálené tabule.

"Ještě by za katedrou mohl sedět Oldřich Nový a nemělo by to chybu", zasnila se Alenka a nepřítomně se rozhlédla po třídě. Spolužáci si zapisovali rozvleklá souvětí o lineárních prostorech jako by se jim to někdy v životě mohlo k něčemu hodit.  To Alenka se vznášela vysoko nad neproniknutelnými oblaky matematična. "Nezávislost vektorů" chápala jako širší výraz emancipace algebraických objektů v moderní společnosti a "dimenze" pro ni neznamenala víc než zajímavé potenciální jméno pro exotický salát z kapusty, strouhaného Čedaru a melounových kostiček. Možná jemně pokapaný italskou zálivkou a ozdobený olivami.

Z jejích kulinářských úvah ji vyrušilo jemné bodnutí v sedací svalovině. To ji sousedka zezadu kružítkem naznačovala, že uličkou mezi lavicemi se blíží obávaný matikář a bylo by tudíž záhodno dočasně vpustit jím generované zvukové vlny do ušního kanálku. Alenka se poněkud vzpřímila, uchopila tužku do ruky a na svůj nevinný obličejík nanesla výraz živého zájmu č. 17.

"Předpokládejme, že množina bé tvoří bázi vektorového prostoru vé, jehož dimenze se rovná en. Pak bé je nutně maximální lineárně nezávislou množinou prostoru vé. Důkaz. Nechť vé nula je vektorem z prostoru vé, který není součástí báze bé. Uvažujme sjednocení jednoprvkové množiny vé nula a báze bé..."

"Tak tohle by uspalo i slona", pomyslela si Alenka, ale než stačila obrátit oči v sloup, v její nezbedné hlavince zablikala žárovička. "Možná bych to mohla nahrát na telefon a pak prodávat jako noční zvukovou kulisu pro lidi trpící nespavostí. Bylo by to určitě účinnější než všechny ty zasmyčkované nahrávky tropického deště nebo mořského příboje".

Ale jak začala spřádat plány na svůj malý boutique, prodávající záznamy přednášek z lineární algebry a diferenciálního počtu za účelem léčby vážných poruch spánku, sama pocítila, že jí počínají těžknout víčka. Učitelův hlas pomalu slábnul a zapadal kamsi za horizont rozpoznání. Hlava se nezadržitelně nakláněla hned na jednu, hned na druhou stranu. Alenka si instinktivně opřela bradu o ruku. Její pomněnková kukadla se zúžila do pomněnkových škvírek. Skutečnost se začala prolínat s neskutečností... Barvy se rozpíjely jedna v druhé... Loďka jejího vědomí se dvakrát zatočila ve víru beztíže a zmizela v medových peřejích...

+++++++++

Bílý králíček má skoro prázdnou krabici

Alenka se probrala pod rozložitou modrou muchomůrkou a hned poznala, že něco není v pořádku. Třeň houby byl opásán kuchyňskou zástěrou a do klobouku jí nějaký šprýmař vetknul cedulku "Mouchy snězte si mne". Okraj plodnice nesl patrné stopy dvojice zaječích hlodáků. Po chvíli za sebou zaslechla tenké naříkání. Opatrně si protřela oči a spatřila bílého králíčka, jak sedí vedle velké papírové krabice a usedavě pláče.

"Copak se ti stalo", zeptala se ho účastně.

"Všichni se mi smějou, že chodím po lese se skoro prázdnou krabicí", zanaříkal ušáček a přihnul si z malé placatice mrkvového džusu. "Jenže ona není prázdná. Mám v ní míč. Akorát, že vyplňuje hrozně malilinkou část tý krabice. Proto se mi smějou".

"A to v ní máš ping-pongový míček?", snažila se Alenka dobrat záhady.

"Né, fotbalovej!", zaštkal králíček a s velkým srknutím si dopřál další dávku džusu.

Alenka přistoupila blíže a ukazováčkem opatrně zaklepala na krabici. "No, nezní zrovna moc plně. Že ty mě taháš za fusekli".

"Netahám!", skoro vykřikl králíček. "Je v ní můj fotbalovej míč. Je stejně velkej jako ta krabice. Jenomže je sto-dimenzionální. Nezabírá v ní skoro žádný místo. Proto jsem ostatním zvířátkům za tajtrlíka." A s těmito slovy se rozbrečel tak hodnověrně, že si Alenka nenápadně odsedla, aby jí nezacákal sukni.

+++++++++

Podívejme se na příčinu králíčkových slz matematicky.

Vezmeme si jednotkovou kouli v n-rozměrném prostoru (množinu bodů, jejichž vzdálenost od počátku je r?1) a uzavřeme tuto kouli do nejtěsnější možné krabice, což bude hyperkrychle s velikostí strany a=2 (průměr koule je d=2).

Nyní si spočítáme objem koule i krabice a vydělením zjistíme, jak velkou část (hyper)objemu krabice zaujímá míč.

(mocniny budu značit pomocí symbolu ^ tj. 10^-15 je deset na mínus patnáctou)

Objem n-rozměrné hyperkrychle o straně a=2 je V = 2^n.

Objem n-rozměrné jednotkové hyperkoule je V' = ?^(n/2) / ?(1+n/2)

(hodnoty gamma funkce ? - což je v podstatě spojitý faktoriál - najdete zde)

Relativní objem míče v krabici (V'/V) pro vybrané hodnoty dimenze ukazuje tabulka.

dimenze
2	0.7854
3	0.5236
4	0.3084
5	0.1645
7	0.0369
10	0.0025
30
100

Vidíte, že zatímco ve 2D ten míč ještě vyplňuje většinu krabice (téměř 80%), ve 3D už je to jen o něco víc než polovina a se vzrůstající dimenzí jeho podíl na objemu krabice dále klesá - v 10D je to jen čtvrt procenta a ve 100D je prakticky zanedbatelný.

Pro srovnání. Objem protonu je 2.5x10^-45 m3. Objem Jupiteru je 1.24x10^24 m3. Když ty dva objemy vydělíme, dostaneme řádově 10^-69. Takže relativní objem, který ve 100D krabici zaujímá králíčkův 100D míč je ještě o něco menší než relativní objem, který v 3D Jupiteru zaujímá jeden mrňavý 3D proton. Jen si to považte. Ve všech 100 směrech ten míč sahá od stěny ke stěně. A přesto je krabice prakticky prázdná.

Welcome to Wonderland!

A ještě jednu malou kuriozitku.

Možná si říkáte, že ta malá čísla na konci tabulky jsou způsobena tím, že objem koule dělíme stále vyšší mocninou 2. To je sice pravda, ale jak objem n-rozměrné koule, tak obsah jejího povrchu se samy o sobě blíží k nule (se vzrůstající dimenzí).

To je na první pohled absurdní. Jak může mít koule, která podél všech os sahá od -1 k 1, objem či povrchovou plochu libovolně malou?

Tento zdánlivý paradox je způsoben tím, že obsahy, objemy atd měříme v jednotkách, které jsou odvozeny ze čtverce, krychle, hyperkrychle atd. A s rostoucí dimenzí ta hyperkoule prostě nedokáže s hyperkrychlí držet krok. Většina objemu hyperkrychle je totiž soustředěna v rozích. To si můžete ověřit tak, že do krychle vepíšete kouli a budete se dívat jaký poměr tato koule v krychli zaujímá (se zvětšující se dimenzí).

Za zmínku stojí i to, že zatímco povrch hyperkoule je největší v n=7 dimenzích, objem kulminuje v n=5 dimenzích (obr). Zda to má nějaký hlubší smysl mi není známo.

+++++++++

Jabberwock a jeho scvrknuté království

Z cihlové jeskyně se ozývaly nadmíru prapodivné zvuky: "Purva do kyči! Já je zkrustořím jak vlapa. A co jim tam drubnu, to si za škubance lohaj!" Z temného otvoru se postupně vysoukala hlava strašlivého draka Jabberwocka. Alenka zahájila konverzaci dámským gambitem.

"Dobrý den. Jdu tady prosím vás dobře k počátku souřadné soustavy?"

Z otvoru se vyvalily mraky sirného čmoudu: "Hrázlem! To pá přece tykec".

Alenka udělala krok zpátky: "Já vám ale vůbec nerozumím... vy žblebtosaure".

"To proto, že když jsem nafranej, tak melu páté přes deváté..."

"A co vás tak ... nafralo?", zeptala se Alenka opatrně, protože si nebyla jistá, zda mladá dáma vůbec může takové slovo v přítomnosti jiného obratlovce vyslovit.

"Vektoriánská Anglie mě zase oblafla", zaskuhral drak a podle pravidelnějšího vyfukování skleníkových plynů se dalo usoudit, že se začíná uklidňovat. "Slíbili, že mi vybudují rezervaci na planetě chutných princezen o rozsahu minimálně 10% celkové plochy. Ale když jsem se dostavil k zápisu na severním pólu, zjistil jsem, že podél 45. koloběžky je vystavěn plot z ostnatého grátu. Dál ani krok. Říkají tomu dračí gretto. A ještě mi tam nějaká školačka pořád mává u čenichu měřícím přístrojem."

Alenka si v duchu představila Zeměkouli a namítla nesměle: "Ale oblast od 45. rovnoběžky na sever je přece dost veliká. To bude jistě více než 10% povrchu planety".

"Nebude! Protože ta planeta je sto-dimensionální", odsekl Jabberwock a v nozdrách mu zafučelo. "Ale já si toho pacholka, co mi slíbil 3D plus kuchyň, zjistím a pak uvidí, zač je toho v mém království kroket. Herdek filek začudáno kreptosembajxl a nikdy jinak!"

+++++++++

Jabberwockův problém je celkem přímočarý. Bylo mu slíbeno hájemství o velikosti jedné desetiny celkového povrchu planety, ale to území je definováno pomocí zeměpisné šířky, přesněji jedné ze sférických souřadnic. Odpovídá tedy útvaru, kterému říkáme kulový vrchlík. Můžete si představit oblast definovanou polárním kruhem nebo jedním z obratníků - i když v Jabberwockově případě běží hranice podél 45. rovnoběžky, což je přesně polovina cesty od severního pólu k rovníku (jeho království ve 2D a 3D je na obrázku vyznačeno zeleně).

Vrchlík obvykle definujeme pomocí maximálního úhlu ?, který jeho body svírají ve středu sféry s centrálním bodem S.  Pokud si ho představíme jako severní pól, můžeme se na úhel ? dívat jako na zeměpisnou šířku, jen musíme dávat pozor na konvenci. V geografii ho měříme od rovníku nahoru (či dolů), zatímco v matematice obvykle od pólu dolů. Na pólu je tedy 0°, na polárním kruhu zhruba 23.5°, na hranici Jabberwockova království 45°, na rovníku 90° a na opačném pólu 180°.

Tento úhel nám současně ukazuje jak daleko od pólu se nacházíme, protože středový úhel je přímo úměrný délce příslušného kruhového oblouku. Matematici to fikaně zaonačili tak, že tuto délku na jednotkové kružnici považují za jednotku odpovídajícího úhlu (radián).

Vrchlík se dá definovat i ve více dimenzích, kde ty sférické souřadnice mají své přirozené ekvivalenty - jen je jich pochopitelně víc. Kromě zeměpisné délky a šířky si při troše fantazie můžete ještě zavést zeměpisnou výšku, zeměpisnou hloubku, zeměpisný obvod hrudníku a spoustu dalších.

A tady někde leží kámen úrazu.

I ve vyšších dimenzích můžeme Jabberwockovo království definovat jako vše co leží "nad 45. rovnoběžkou", ale podíl takto vymezeného území (vzhledem k povrchu celé sféry) bude s rostoucí dimenzí poměrně významně klesat. Ve 2D (obrázek nahoře vlevo) bude drakův pozemek tvořit čtvrtinu celé planety - což je vidět bez počítání přímo z obrázku (? = 45°). Ve třech dimenzích (obrázek vpravo) je to ještě stále nad 10% (jak Alenka z vlastní zkušenosti správně odhadla), ale pak už to jde s kopce. V 10D jeho ohrádka tvoří méně než procento celkové plochy a ve 100D je prakticky celá planeta "za plotem" (na milého dráčka zbyla cca biliardtina procenta).

Z toho plyne poučení, že si ve smlouvě máme přečíst i to co je drobným písmem.

Drakovi Jabberwockovi se tímto dekretem přiděluje království s příslušenstvím na 100D planetě (severně od 45. rovnoběžky).

Následující tabulka ukazuje jak rychle klesá relativní plocha vrchlíku (? = 45°) s dimenzí.

dimenze
2	25.00
3	14.64
4	9.08
5	5.81
7	2.49
10	0.75
30	0.0004
100

(kvůli kompatibilitě se zbytkem článku používám dimenzi prostoru ,ve kterém se sféra nachází - nikoliv "vlastní" dimenzi sféry, která je o jedničku menší)

Mimochodem, spočítat obsah kulového vrchlíku ve více dimenzích není žádná legrace. Ve 3D to sice známe ze školy, ale ve více rozměrech obvykle zabředneme do vyčíslování určitých integrálů jejichž meze závisí na ?. Standardním postupem je při výpočtu použít tzv. neúplnou Beta funkci, ale občas narazíte i na formulky složené jen ze sínů a kosínů - byť jsou zhusta nevábně zapařené  (např. vzorečky 9-11 v tomto pdf).

A na závěr sekce jednu praktickou (a lehce přeskočitelnou) poznámku.

Na sféře nežijí jen "vrchlíci". Někdy potřebujeme odhadnout velikost nějaké nepravidelné množiny M. Pak je nejjednodušší sféru hustě pokrýt rovnoměrně rozloženou množinou bodů a spočítat kolik z nich se nalézá uvnitř M.

Jak ale náhodně generovat body na sféře tak, aby každá oblast měla stejnou šanci, že se bodík utáboří v jejím katastru?

Naivní řešení je nejprve vygenerovat n souřadnic pomocí generátoru náhodných čísel (funkce random na intervalu [-1,1]), z nich složit "hrubý" n-dimenzionální vektor (x1,x2,...,xn) a ten pak vydělit jeho délkou. Voila - bod na jednotkové sféře je doma! Vymáchat a zopakovat.

Potíž spočívá v tom, že funkce random obvykle generuje jednotlivé hodnoty s rovnoměrným rozdělením, takže před normalizací se naše body nacházejí v hyperkrychli. A když je pak vydělením normou "posadíme na sféru", nebudou na ní rovnoměrně rozložené, protože ty části sféry, do které se promítnou "rohy" budou zabydlené o něco hustěji. Rovnoměrné rozložení jednotlivých souřadnic tedy paradoxně vede k nerovnoměrnému rozložení bodů na sféře.

Na dalším obrázku vidíte náhodně vybrané body pokrývající kulový vrchlík se středem v jednom z rohů 3D krychle. Vlevo jsem je generoval naivním způsobem - tedy pomocí funkce random - a vidíte na něm tři silněji obsazené koridory odpovídající třem hranám sbíhajícím se ve zvoleném rohu.

Správný postup (obrázek vpravo) je vygenerovat souřadnice "hrubého" vektoru nikoliv pomocí rovnoměrného (tedy uniformního) rozdělení, ale pomocí normálního (tedy Gaussovského), které je rotačně invariantní. Pak jsou body na sféře rozděleny skutečně "spravedlivě" (více podrobností najdete zde anebo zde).

+++++++++

Tweedledum a Tweedledee s Alenkou se sázejí

Polem kvetoucích budíků se k Alence blížila hopsající dvojice baculatých postaviček. "Praví, jo praví, my jsme ti kluci praví", zpívali si. Alenka si při pohledu na rozmarný pár pomyslela, zda nebudou spíše leví, ale protože byla slušně vychovaná, nic neřekla.

"Ahoj, já jsem Tweedledum a tohle je můj bratr Tweedledee", řekl jeden z dvojice a bylo jedno který, protože si byli k nerozeznání podobni.

"Já jsem Alenka", opáčila Alenka a po chvilce rozpačitého ticha na sebe ukázala vztyčeným ukazováčkem a významně dodala: "a tohle je taky Alenka".

"Měli bychom pro tebe takovou sázku", navrhl zkusmo Tweedledum.

"Jsem jedno velké ucho", sebekriticky zahlásila Alenka.

"My jsme zase mistři pravých úhlů. Dáme ti míč a ty si na něm neviditelným inkoustem označíš bod. Kdekoliv. Pak si na něm tím samým inkoustem označíme náhodně vybraný bod my a až se oba body zviditelní, změříme jejich středový úhel. Pokud to bude plus mínus pravý úhel, vyhráli jsme a ty nám dáš stovku. Pokud ne, stovku dáme my tobě."

Alenka tušila čertovinu: "A co to přesně je ten 'plus mínus pravý úhel', chlapci?"

"To je pravý úhel s tolerancí 5°, tedy od 85° do 95°, abychom byli přesní."

Alenka se posadila na budík a začala dumat. "Aby se ti bumblíčci trefili náhodným výběrem do pravého úhlu je dost málo pravděpodobné. Když ten pokus párkrát zopakujeme, určitě z toho vyjdu vítězně". A dohodla se s bratry na deseti pokusech.

"Jo, a ještě taková malá technická drobnost", prohodil při závěrečném stisku ruky Tweedledee. "My jsme si ten míč půjčili od bílého králíčka, takže je sto-dimenzionální".

+++++++++

Nejprve si zopakujeme, jakou kulišárnu pánove Tweedledum a Tweedledee provozují.

Alenka si vybere bod A, braši bod B. Díky neviditelnému inkoustu jsou obě volby zcela náhodné. Alenka si dokonce před předáním může s míčem chvíli házet, aby dokonale zametla stopy svého výběru. Po zviditelnění obou bodů nahřátím míče nad Bunsenovým hořákem braši změří středový úhel ? (AOB). Bude-li v limitu 85° až 95°, dostanou od Alenky stovku, pokud ne, stovku vyinkasuje Alenka.

(pro představu jak ten "plus mínus pravý úhel" vypadá: úhel vlevo je 85°)

Abychom odhadli Alenčiny šance na vítězství, musíme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že úhel AOB bude v požadovaném rozmezí.

Počkáme až si Alenka vybere bod A a pak si na kouli zavedeme souřadný systém tak, že bod A bude ležet na severním pólu (to můžeme udělat, protože koule je perfektně symetrická). Tím máme jeden bod zafixovaný ve stropě.

Nejpřehlednější je situace ve 2D (obrázek dole vlevo). Pokud si bratři vyberou bod B v zelené oblasti, úhel ? (AOB) bude "plus mínus pravý" a oni vyhrajou, v červené oblasti vyhrává Alenka. Z obrázku je jasně vidět, že ve 2D by tato hra byla pro Alenku zlatým dolem. Je také vidět, že celá analýza je symetrická podle osy x, takže nám při výpočtu stačí omezit se na "severní polokouli".

V pravé části obrázku vidíme situaci ve 3D (a tady už na základě předchozí poznámky ukazuji pouze severní polokouli). Šířka zelené oblasti odpovídá dohodnuté tolerancí.

Výpočetně nás to opět dovede ke zkoumání kulového vrchlíku, s tím, že jeho úhlový rozměr je zadaný spodní hladinou tolerančního intervalu. V našem případě je to 85°. Padne-li bod B do červeného vrchlíku, vyhrává Alenka, v zeleném rovníkovém pásmu (85° < ? < 90°) vítězí braši. Na jižní polokouli by situace byla symetrická.

Pravděpodobnost, že vyhraje Alenka, je tedy daná poměrem plochy vrchlíku a polosféry

P = S(kulový vrchlík 85°) / S(polosféra)

A protože v minulé sekci jsme viděli, že plocha vrchlíku (s pevně zvoleným úhlem - zde 85°) závisí na dimenzi, v následující tabulce se podíváme, jaké jsou Alenčiny šance na vítězství (relativní plocha vrchlíku) pro několik vybraných hodnot.

dimenze
2	94.44
3	91.28
4	88.92
5	86.96
7	83.74
10	79.89
30	64.11
100	38.61

Jak očekáváme, ve 2D a 3D by tato hra byla pro Tweedleduo finanční sebevraždou. Se vzrůstající dimenzí se ale relativní plocha Alenčina červeného vrchlíku zmenšuje (stejně jako Jabberwockovo království), zatímco zelený rovníkový pás obou bratrů pomalu zbytňuje (vzhledem k ploše celé polokoule). Na rozdíl od Alenky (a Jabberwocka) tedy mají na vyšší dimenzi eminentní zájem. Když dojdeme do 100D, kde operuje králíčkův míč, štěstěna už sedí pevně na straně bratrů a z deseti her by pravděpodobně šest vyhráli (Alenka v průměru pouze čtyři).

+++++++++

(zbytek sekce můžete přeskočit)

Na rozdíl od Jabberwockova království zde podíl vrchlíku na celkové ploše neubývá (s dimenzí) tak dramaticky. To je v podstatě dáno jeho velikosti - čím více se vrchlík blíží polosféře, tím pomaleji jeho podíl ubývá. A tím vyšší dimenzi bychom potřebovali k překlopení "štěstíčka" ve prospěch rovníkového pásu. Kdyby se braši rozhodli, že "plus mínus pravý úhel" bude pouze od 89° do 91°, nezbylo by jim, než hledat kavku někde v 1500D prostoru. Pro ?=89° už vrchlík sahá prakticky až k rovníku a jeho relativní plocha ubývá tempem hlemýždím. To není zase až tak nečekané. Kdybychom takový vrchlík nepatrně zvětšili na ?=90°, dostali bychom celou polosféru a její podíl na celkové ploše už by neubýval vůbec. Půl sféry reprezentuje 50% plochy sféry v jakékoliv dimenzi.

Je to trochu jako když si vezmete číslo 0<č<1 a začnete ho umocňovat na vyšší a vyšší mocniny. Výsledná hodnota č^n se vždy bude blížit k nule, ale pro č blízko jedné se bude zmenšovat velmi pomalu (a v limitním případě č=1 už se nebude zmenšovat vůbec).

"Všeliké to žonglování s vrchlickým povrchem mohlo by se však nejednomu čtenáři jevit tuze abstraktní kratochvílí", rýpnul by si v tomto okamžiku básník-ruchovec.

Tak konkretněji.

V minulé sekci jsme se naučili generovat body na sféře, takže si můžeme duel Alenky a oběma bumbrlíčky nasimulovat. Zafixujeme si bod A (třeba na severním pólu) a k němu si nabrnkáme sto tisíc bodů B a podíváme se, jaký úhel svírají s bodem A. Na dalším obrázku vidíte pravděpodobnost úhlu AOB (přesněji jeho histogram) pro dimenze  2, 3 a 5. Výška každého sloupce ukazuje kolikrát jsme daný úhel napočítali.

Vidíte, že ve 2D je rozdělení zcela rovnoměrné. Žádný úhel na kružnici není pravděpodobnější než ostatní. Na 3D sféře už je to jiné. Protože rovník (?=90°) je delší než všechny ostatní rovnoběžky, do jeho okolí padne o něco více náhodně zvolených bodů a proto je pravděpodobnost v okolí hodnoty ?=90° větší (to, že ta křivka připomíná oblouk sinusoidy není náhoda). A tato "rovníková převaha" se vzrůstající dimenzí roste.

Proč? Protože rovník je v podstatě tvořen (normalizovanými) kombinacemi vektorů, které jsou kolmé na vektor severního pólu. A jak jsme viděli minule, ve vyšších dimenzích je těch vektorů kolmých k vektoru OA více a více.

Ovšem pozor. Na sféře jako takové jsou si všechny body rovny a žádný nemá  privilegovanou pozici severního pólu (Země ho má proto, že se otáčí). V každém bodě budete mít pocit, že většina plochy sféry se nachází poblíž "vašeho" rovníku (tedy poblíž oblasti jejíž vektory jsou kolmé k vašemu momentálnímu polohovému vektoru).

Podobné histogramy bychom dostali, kdybychom si ten bod A nezafixovali, ale náhodně si vybírali oba body A i B. Rozložení úhlů by bylo stejné. Ve více dimenzích budou mít dva náhodně zvolené body větší šanci být "plus mínus kolmé" (to je vidět už z toho pravého obrázku a se zvětšující se dimenzí se to rozdělení dále zužuje).

+++++++++

Šílený Kloboučník miluje čokoládu

"Čaj o páté? Proč ne?", zaradovala se Alenka, když ji plch prchající houštinou pozval na neobvyklou párty.

Posadila se vedle Kloboučníka a způsobně si složila ruce do klína.

"How do you do?", zazubil se na ni hostitel dýchánku. "Máte ráda čokoládu?"

"Dobrý bonbón nikdy neodmítnu", zajiskřilo Alence v očích.

"Já taky", přiznal se Kloboučník, "jenom tu mentolovou náplň zrovna nemusím".

"Tak proč si neobjednáte bonbóny jen z čokolády?"

"Protože bych přišel o hlavu. Srdcová královna miluje mentol a vydala nařízení, podle kterého musí mít všechny čokoládové bonbóny mentolovou náplň. Taky tý babizně svorně říkáme Victoria de Mentol. A má na to přesnou specifikaci: tloušťka čokoládové vrstvy nesmí přesahovat 10% poloměru bonbónu. Pořídila si speciální měřící jehlu, kterou zapíchne do středu bonbónu a jak je čokoládová vrstva silnější - šup s hlavou dolů. Ale já na ni vyzrál."

"Povídejte a přehánějte", pobídla ho šibalsky Alenka.

"Ve výklenku za zrcadlem je malá komůrka, kde pracuje můj bratranec, Šílený Cukrář. Ten umí dělat sto-dimenzionální bonbóny. Ty mají tloušťku polevy přesně podle královniny specifikace a přesto jsou prakticky celé z čokolády. Tady - vemte si".

A Kloboučník vylovil z náprsní kapsy sáček plný voňavých 100D kuliček.

Alenka se zdvořile usmála a s velkým požitkem slupnula nabídnutý pamlsek.

+++++++++

Tajemství povedeného Kloboučníka a jeho ještě povedenějšího bratrance je založeno na tom, že objem tenké čokoládové vrstvy a zejména její procentuální podíl na celkovém objemu bonbónu taktéž závisí na dimenzi. A to přesto, že ve všech dimenzích budeme dodržovat tu samou specifikaci: tloušťka polevy je pouze 10% poloměru r. Kdykoliv si tedy královna provede kontrolní "vrt", ze středu až do vzdálenosti 0.9*r bude její milovaná mentolová náplň.

Jak je patrno, ve 2D a 3D je podíl čokolády vcelku malý. Proveďme si výpočet.

K formulce z úvodu přidáme člen reprezentující závislost na poloměru. Objem koule s poloměrem r v dimenzi n bude

V(r,n) = r^n * ?^(n/2) / ?(1+n/2)

Pro objem čokolády v dimenzi n tedy dostaneme

V' = V(1,n) - V(0.9,n)

(od objemu bonbónu odečteme objem náplně)

Relativní podíl čokolády v bonbónu pak bude dán podílem V'/V(1,n) a pro několik hodnot dimenzí ho naleznete v následující tabulce (jako procento).

dimenze
2	19.00
3	27.10
4	34.39
5	40.95
7	52.17
10	65.13
30	95.76
100	99.9973

Tady se věci s přechodem do vyšších dimenzí mění poměrně zásadně. Ve 2D a 3D je té čokolády co by se za skřivánčí jazýček vešlo (i když se přiznám, že ve 2D bych z toho ilustračního obrázku tipoval menší procento). Jak ale zvyšujeme n, její podíl se utěšeně zvyšuje a ve 100D (kde kouzlí Šílený Cukrář) už čokoláda zcela dominuje. Přitom kdykoliv si královna do toho 100D bonbónu zapíchne svou jehlu, zjistí, že 90% každého "poloměru" stále tvoří náplň.

Matematicky to znamená, že ve vyšších dimenzích je většina objemu hyperkoule soustředěna poblíž jejího povrchu. To je další fenomén, který z našich skromných dimenzionálních poměrů neznáme. Naše intuice, zhýčkaná žonglováním 2D a 3D myšlenkových bonbónků, si na něm vyláme zuby.

A co k tomu říci závěrem?

Informační revoluce a s ní spojená potřeba zpracování a interpretace vysoko-dimenzionálních dat posunuje hranice naší prostorové představivosti a vyvíjí podvědomý tlak na skutečné pochopení poměrů panujících ve vyšších patrech Eukleidovské hierarchie.

Naše znalosti suterénu jsou sice vyhovující, ale jakmile vyjedeme výtahem nahoru, pečlivě vytrénované geometrické senzory se ocitnou v bizarní říši divů bez jakékoliv mapy. Orientační body jsou tak řídce rozptýlené, že při pokusu zachytit se statistického stébla promáchnou naprázdno. Ve zmatené mysli se naše smysly schovají za nesmysly. Ale neztrácejme naději. Tak jako se batole naučí chodit ve 3D, i my se v Alenčině říši jednou zorientujeme. Metodou pokusů a omylů.

Experti pracující v oblasti informatiky a datové analýzy si pro tu ošidnost méně-rozměrných analogií ve více-rozměrných prostorech vymysleli krásný termín: kletba dimenzionality (curse of dimensionality).

Tweedledum a Tweedledee by to shrnuli lapidárněji: o kulovým vrchlíku víte kulový.

+++++++++

A protože jsme dnes ve Wonderlandu, na vydýchání si dáme rockovou úpravu jednoho nestárnoucího hitu Louise Armstronga (tady je originál se slavným trumpetistou a tady podobná rockerovina v podání skupiny The Clarks). Tak se pořádně připoutejte a jedem. The Ramones: What a Wonderful World

Předchozí díly Matykání.