Cesta do hlubin fraktálovy duše III

V dnešním nahlédnutí do světa fraktálů se zaměřím na jeden rys, který zůstal zatím trochu stranou výkladu, a to je samopodobnost. Pokud jste si v prvním článku přečetli návod, jak se fraktál vyrobí, možná jste si položili otázku, jak se takové komplexní struktury docílí pouze výběrem dvou čísel (parametrů) a následným dosazováním do kvadratické rovnice. Tím magickým proutkem, který dokáže z jednoduchých ingrediencí našlehat nekonečnou jemnost detailu, je právě samopodobnost - tedy opakování daného vzoru, postupu či struktury na nižších úrovních (a v příslušně zmenšené škále).

V nejjednodušší formě je samopodobnost vidět na tzv. Cantorově množině. Její konstrukce je v principu iterativní. V prvním kroku si vezmete normální jednotkový interval (tedy úsečku mezi 0 a 1 na číselné ose). V druhém kroku z toho intervalu vyjmete prostřední třetinu. Ve třetím kroku z těch dvou zbytků opět vyjmete prostřední čtvrtinu a dostanete tak 4 malé úsečky. Ve čtvrtém kroku, z těch 4 malých úseček opět vyhodíte prostřední díl a tak pokračujete pořád dokola (tady je schematický obrázek prvních šesti kroků).

To co obdržíte po provedení nekonečně mnoha kroků bude takové "divné smetí", kterému se říká Cantorova množina (jednu její zajímavou vlastnost naznačím v dodatku pod obrázky). Pokud vás to nekonečno v konstrukci dráždí, nelamte si s tím hlavu a prostě si Cantorovu množinu představte jako to, co dostanete řekněme po dvaceti krocích. Nebude to sice plnohodnotný fraktál, ale na to, co Vám chci ukázat to stačí. Podívejte se teď na třetí řadu, na druhou úsečku zleva (a nebo zprava - to je jedno) a soustřeďte se jen na tu část náčrtu, která je "pod ní". Když zapomenete na všechno okolo, tak zjistíte, že ta část, kterou sledujete, vlastně připomíná celou původní konstrukci. Je to prostě malá úsečka, ze které vyhazujeme prostřední třetiny a to až do úplného zblbnutí, což je přesně to, co jsme dělali od samého začátku. To, co byste si z toho měli odnést (kromě potvrzení své nenávisti k matematice) je, že část té množiny je vlastně zmenšenou kopií množiny celé.

A přesně v tom spočívá princip samopodobnosti. Soustředíte-li se na malý kousek samopodobné množiny, uvidíte vpodstatě stejnou strukturu jako u celé množiny - jen příslušně zmenšenou. Všimněte si, že tento jednoduchý princip umožňuje popsat celou množinu několika málo větami (vlastně jenom jednou: "Začněte úsečkou a furt vyhazujte prostřední třetinu z toho co máte"). Celá ta nekonečná množina se dá z této věty zrekonstruovat. To třeba takový obrys Mony Lisy jednou větou nepopíšete. Mona Lisa je také velmi komplexní rovinná množina, ale algoritmus (tedy opakující se postup) z ní neuděláte ani kdybyste se rozkrájeli na výše popsanou Cantorovu množinu. A právě samopodobnost umožňuje fraktálům vytvářet složité rovinné obrazce z poměrně jednoduchých surovin (kvadratické rovnice a dvojice čísel).

V podstatě se dá říci, že samopodobnost je základem většiny hierarchických struktur, které vidíte kolem sebe. Vezměte si třeba organizační schéma velkých firem: úplně nahoře je šéf, který je zodpovědný pouze svojí manželce a má pod sebou několik úsekových šéfů. Ti jsou zodpovědni pouze Velkému Šéfovi a mají pod sebou několik Mistrů. Každý z nich je zodpovědný pouze svému úsekovému šéfovi a má pod sebou několik dělníků. Když si to zakreslíte do diagramu a podíváte se na výslednou strukturu, zjistíte že umně využívá samopodobnost pro vyšší celkovou efektivitu (stejně tak jako například armáda). Samopodobnost je totiž přehledná a účinná.

Při troše dobré vůle ji najdete ve většině komplikovaných struktur - třeba v politice. Na vrcholu pyramidy je politika mezinárodní, v níž jednotlivé země soupeří o globální moc. Pod ní klokotá politika národní, v níž vrcholní politici a jejich pohůnci soupeří o moc národní. Následuje vrstva regionální politiky, místní politiky a tak můžete pokračovat až se dostanete třeba na úroveň nějaké malé firmičky, kde pár předáků soutěží o to, kdo bude příštím mistrem provozu. I když se na první pohled může zdát, že se jedná o úplně rozdílné světy, když prozkoumáme metody a procesy, které se v zápase o moc používají, zjistíme, že jsou si velmi podobné - účelová spojenectví, kontrola toku informací, politické handlování - liší se vlastně pouze v měřítku v jakém se aplikují.

Matička příroda si tento jednoduchý mechanismus vybudování hierarchie osvojila už někdy v prvohorách. Asi nejznámější samopodobnou formou je list kapradiny. Když si odtrhnete jeden z jejích šlahounovitých výběžků, zjistíte, že se sám podobá celému listu - tedy má hlavní kmen a z něho vybíhají na obě strany řady listovitých výběžků. Podobnou strukturu mají třeba i stromy. Když ze stromu odříznete větev a dobře si ji prohlédnete, najdete na ní podobné rysy jako na celém stromu - hlavní kmen větve, z něho vybíhají menší podvětve a z nich se oddělují ještě menší větvičky. A příklady najdete i mezi neživými útvary. Například norské fjordy. Každý má většinou dominantní záliv, ze kterého na obě strany vybíhají menší podfjordy a z nich pak ještě menší podpodfjordy. Celá struktura fjordu vypadá víceméně jako strom a nese tudíž znaky samopodobnosti.

Na tomto místě je ale třeba říci, že struktury, které vidíme kolem nás se liší od matematických idealizací (jako jsou fraktály nabo Cantorova množina) minimálně ve dvou důležitých aspektech.

Za prvé, reálné útvary (fjordy, stromy či organizační struktury podniků) nesou znaky samopodobnosti pouze po konečný počet kroků a pak vpodstatě končí.  Jinými slovy třeba u stromu v jistém okamžiku narazíte na listy a pak už žádné další "jemnější" větvičky neobjevíte (a to ani na Ostravsku). Za druhé, v přírodě se celek při kopírování do nižších pater může lehce pozměnit. Například podfjord může vypadat úplně jinak než hlavní část jeho mateřského fjordu. Stejně tak je to u větví stromů. Když se tedy vrátím k původnímu příkladu Cantorovy množiny, tak její "přírodní" verzi byste si mohli pořídit například tak, že byste nevyhodili prostřední třetinu, ale třetinu mírně posunutou k té či oné straně, anebo byste vždy vyhodili úsečku, která bude o něco kratší a nebo delší než ta třetina. Těchto "přírodních" fraktálů (obsahujících náhodné variace) hojně využívají tvůrci tzv. fraktálních krajin, které můžete vidět v moderní filmové tvorbě - např. v žánru sci-fi při modelování pohoří na cizích planetách.

To by jako úvod stačilo. Takže teď obrázky. Aby bylo tu samopodobnost lépe vidět, v dnešní sérii ukážu i detaily (výřezy) Juliovy množiny, s tím, že úvodní obrázek nebo obrázky budou vždy obsahovat malý barevný čtvereček, který vám naznačí odkud budu vyřezávat.

V první sérii budu princip obrázek-výřez aplikovat hned třikrát, aby bylo jasno, že můžeme skutečně zajet libovolně do hloubky a tvary dané Juliovy množiny před námi budou vystupovat v menších a stále menších detailech (s tím, že si ale budou zachovávat stejné "tvarosloví").

Jak jsem už napsal minule, každá Juliova množina odpovídá jednomu bodu Mandelbrotovy množiny. Ta má centrální moře a kolem něho celou řadu zátok. Jakmile se s parametry přesunete do těch zátok, Juliova množina se rozpadne na takové ošklivé "štíry". I ti štíraté množiny si ovšem stále zachovávají samopodobnou strukturu - jen nejsou tak hezké jako při volbě parametrů z centrálního moře (jo, a čtverečky budou zelené).

Když s parametry lehce "cuknete", tvar Juliovy množiny se malinko změní, ale základní charakteristiky zůstanou. Tvarové změny se pochopitelně přenesou na všechny úrovně množiny. Na tomto detailu se podíváme, jak to vypadá kolem styčného body dvou různých částí této množiny (viz zelený čtverec).

Pokud se vám tahle štírovitá verze Juliovy množiny nelíbí, můžete s parametry zacouvat zpátky do centrálního moře. Pokud při tom neujedete moc daleko, dostanete množinu, která bude "bytnější", ale při tom stále trochu podobná té, z které jste právě vycouvali. A protože tahle množina je trochu hezčí, uděláme si výřez dvakrát (tedy nejprve výřez a pak výřez z výřezu).

V závěrečné sérii se vrátíme s parametry do centrálního moře Mandelbrotovy množiny a uděláme si plavbu podél pobřeží. Začneme poměrně daleko od břehu, takže vzniklá Juliova množina bude relativně celistvá (v detailu se podíváme na jeden z jejích zakroucených výhonků)

Když se přiblížíte ke břehu, ty výhonky se zvětší a postupně Juliovu množinu "naporcují" na menší kousky. Opět si všimněte, že i v detailu se ty kousky už jen opakují (viz zelený čtverec).

Kolik těch kousků je záleží jako obvykle na parametrech, tedy kde přesně se v Mandelbrotově množině nalézáte. Plavba podél pobřeží je všeobecně nejlepší metoda jak hledat zajímavé Juliovy množiny. Ta následující má o něco víc "kousků" než ta předchozí a v detailu se mrkneme na trochu jinou část.

A na závěr to nejlepší. Občas se stane, že narazíte na parametr, kdy se ty dělící pruhy začnou kroutit a pokud si s tím chvilku hrajete (tedy manévrujete s parametry podél pobřeží Mandelbrotovy množiny), tak můžete narazit i na takovéto zajímavé šneky. Samozřejmě, všechny detaily (viz zelený čtverec) se pak skládají z vámi objevených šneků (a to do libovolné hloubky rozlišení).

No, a pro ty, kdo ještě nemají dost matyky, tady je slíbená technická poznámka o Cantorově množině.

Ta množina má tuto zajímavou vlastnost: je to vpodstatě jednotková úsečka, ze které "prakticky všechno" vyházíte (ve smyslu, že součet délek všech úseček, které odstraníte je taky jedna), a při tom, když si v závěru spočítáte body, které vám zůstaly (tedy poté, co provedete nekonečně mnoho odstranění prostřední třetiny), zjistíte, že máte přesně tolik bodů co na začátku. Jednou větou: skoro všechno vyházíte a při tom vám skoro všechno zůstane. Odborně se tomu říká "jarní úklid" (pro fajnšmekry: to je podobor neúklidovské geometrie). Takové jsou ty nekonečné množiny potvory.