Matykání: Pythagorovo souvětí
I plošníci žijící na zakřivených plochách si mohou nasliněnou inkoustovou tužkou nakreslit pravoúhlý trojúhelník z geodetik a zkoumat, zda mezi délkami jeho stran neexistují nějaké zajímavé vztahy.
A při pečlivém výpočtu se skutečně ukáže, že pythagorovské formulky pro sférický a hyperbolický pravoúhlý trojúhelník nejenže existují, ale vypadají jako by si z oka vypadly.
Na sféře geometři vykoumali, že přepona c a odvěsny a, b musí splňovat rovnici
cos(c) = cos(a) * cos(b)
zatímco na hyperboloidu se ty tři veličiny pojí takto:
cosh(c) = cosh(a) * cosh(b)
Z toho je mimochodem vidět, že mezi goniometrickými a hyperbolickými funkcemi existuje poměrně hluboký vztah, který jsme viděli již v komplexní analýze.
Navíc za okamžik uvidíme, že lokálně se obě Pythagorovy věty chovají eukleidovsky - tedy pro malé pravoúhlé trojúhelníčky se zmíněné rovnosti promění v tu, kterou známe ze školy:
c2 = a2 + b2
(stačí na jednu z výše uvedených rovnic ukázat kouzelným kružítkem a pronést zaříkávací formuli: dexempo multo federex)
Tyto tři podoby Pythagorovy věty jsou pro mne další ukázkou pozoruhodné harmonie, která v matematice vládne.
+++++++++
Sférický Pythagoras
Zatímco v eukleidovské trigonometrii nalezneme úhly uvnitř goniometrických funkcí a strany vně, ve sférické verzi se stranám podařilo do sínů a kosínů vlámat taky. Důvod je celkem jednoduchý.
Ve sférické geometrii de facto měříme vzdálenosti pomocí středových úhlů.
Na obrázku vpravo vidíme řez jednotkovou sférou a je celkem patrné, že naznačená délka zeleného sférického oblouku c je přímo úměrná středovému úhlu c'. Pokud ho měříme v radiánech, pak je dokonce c=c'. Pokud naše sféra jednotková není, stále existuje jednoduchá úměra mezi c a c':
c = R*c'.
Proto není problém uvažovat pro trojúhelník se stranou délky c výraz cos(c), protože ta délka se dá chápat (a taky chápe) jako úhel.
+++++++++
Nuže do díla.
Protože Pythagorova věta je v podstatě speciálním případem kosínové věty, odvodíme si nejprve její sférickou verzi.
Vezmeme si trojúhelník ABC se stranami a, b, c a úhly A, B, C v odpovídajících vrcholech na jednotkové sféře se středem v bodě O.
Protože sféra je perfektně symetrická, můžeme si vhodnou rotací (aniž bychom změnili velikost stran či úhlů) natočit trojúhelník tak, aby vrchol C ležel na severním pólu a vrchol B na nultém poledníku (y=0). Bod A ať si pak padne, kam chce (viz obrázek vpravo).
Tři body trojúhelníku odpovídají třem vektorům:
u = OC
v = OB
w = OA
Středový úhel AOB má velikost c (délky stran odpovídají středovým úhlům) a protože všechny vektory jsou jednotkové, jeho kosínus bude roven skalárnímu součinu
cos(c) = v.w
Jen teď musíme najít správné vyjádření pro oba vektory v tradičních sférických souřadnicích, ve kterých bude zeměpisná šířka měřena od pólu a zeměpisná délka od zeleného poledníku.
Vektor v bude odpovídat šířce a a délce 0, takže jeho souřadnice budou
v = (sin(a),0,cos(a))
Vektor w má šířku b, délku C (viz obrázek) a tudíž souřadnice:
w = (sin(b)*cos(C),sin(b)*sin(C),cos(b))
Za skalární součin v.w proto dosadíme příslušný součin komponent
cos(c) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)*cos(C)
a to je v podstatě sférická verze kosínové věty.
Nyní položíme C = 90° a dostaneme Pythagorovu větu, která říká, že v pravoúhlém trojúhelníku na sféře splňují délky stran rovnici
cos(c) = cos(a)*cos(b)
+++++++++
Minule jsme při zkoumání úhlového defektu zjistili, že pro malé rozměry se sférické i hyperbolické trojúhelníky chovají podobně jako eukleidovské. Pojďme se tedy podívat, co se stane, když náš trojúhelník bude mít "maličké" strany a, b a c.
Pro malé hodnoty x se funkce cos(x) dá aproximovat kvadratickým polynomem
cos(x) ~ 1 - x2 / 2
(jsou to de facto první dva členy Taylorova rozvoje kosínu do "nekonečného polynomu")
Nuže dosaďme tuto aproximaci za jednotlivé členy sférické Pythagorovy věty:
(1 - c2 / 2) = (1 - a2 / 2) * (1 - b2 / 2)
Pravou stranu roznásobíme a po algebraické úpravě dostaneme
c2 = a2 + b2 - a2 b2 / 2
protože hodnoty a,b,c jsou malinké, člen a2 * b2 můžeme ve srovnání s ostatními zanedbat a dostaneme běžnou Pythagorovu větu.
c2 = a2 + b2
I zde tedy platí, že malé sférické trojúhelníky se chovají eukleidovsky.
+++++++++
Hyperbolický Pythagoras
Protože minule jsme prováděli výpočet v modelu poloroviny, dnes se přesuneme do kruhového modelu a započítáme si tam. Naším pískovištěm bude jednotkový kruh K a "přímky" v něm budou představovat kružnice kolmé na K.
Přímka procházející body A a B je tedy (jednoznačně určená) zelená kružnice, jejíž konstrukci jsme zkoumali předminule. Tato kružnice protíná definiční kružnici K v bodech M a N.
Hyperbolickou vzdálenost mezi A a B budu značit d(A,B), zatímco pro běžnou eukleidovskou budu používat symbol AB. Neustále přepínání mezi eukleidovskými a hyperbolickými vzdálenostmi je asi nejtěžším aspektem hyperbolické trigonometrie.
Protože přímka (geodetika) je nejkratší spojnicí bodů A a B, vzdálenost d(A,B) mezi nimi se v principu spočítá tak, že si ten kousek zelené hyperbolické přímky (ať už vypadá jako kružnice nebo jako přímka) mezi A a B rozsekáme na spoustu malých infinitesimálních kousíčků, jeden každý z nich změříme příslušnou hyperbolickou metrikou a vzniklé mezivýsledky pak prostě sečteme (přesněji zintegrujeme, protože jsou infinitesimálně malé).
To je samozřejmě netriviální úkon a proto ho za nás pro obecnou (ne nutně jednotkovou) kružnici provedli báječní muži s logaritmickými pravítky a zjistili, že vzdálenost d(A,B) se dá vyjádřit pomocí tzv. křížového poměru běžných eukleidovských vzdáleností:
d(A,B) = | log(AM*BN / AN*BM) |
(to co je v závorce definuje křížový poměr uvedených bodů [A,B;M,N])
Pokud se stane, že jeden z těch dvou bodů je střed O jednotkové kružnice K, pak se ta zelená kružnice stane běžnou přímkou (kružnice s nekonečným poloměrem) a celý vzoreček se zjednoduší (viz obrázek nahoře). OM i ON budou rovny 1 (v našem případě je K jednotková kružnice) a pokud si označíme eukleidovskou vzdálenost mezi O a B' písmenkem x a dostaneme B'M = 1-x, B'N = 1+x, takže suma sumárum
(0) d(O,B') = | log((1+x)/(1-x)) |
(toto je de facto převod mezi eukleidovskou a hyperbolickou vzdáleností od středu)
Tento speciální případ OB' se dokonce dá odvodit přímo z metriky, protože na přímce je ta integrace poměrně snesitelná (podrobnosti zde a zde). A protože obecný případ d(A,B) se dá do počátku "dotlačit" pomocí Möbiových transformací, které zachovávají hyperbolické vzdálenosti, můžeme se při analýze trojúhelníku ABC omezit na situaci, kdy je bod A v počátku.
Nejprve ale rovnici (0) trochu přepíšeme. Pokud si tu hyperbolickou vzdálenost mezi O a B' označíme zkráceně jako d, můžeme ji vyjádřit pomocí exponenciely
(1) exp(d) = (1+x)/(1-x)
pro reciproké hodnoty pak dostaneme:
(2) exp(-d) = (1-x)/(1+x)
a pomocí hyperbolických funkcí můžeme (1) a (2) kombinovat:
(+) sinh(d) = 2x / (1-x2)
(++) cosh(d) = (1+x2) / (1-x2)
(+++) tanh(d) = 2x / (1+x2)
+++++++++
No a teď zpátky k té Pythagorově větě.
Nejprve si odvodíme dvě pomocné rovnosti.
(3) cos(A) = tanh(b) / tanh(c)
(4) sin(A) = sinh(a) / sinh(c)
V trojúhelníku ABC necháme bod A v počátku O, takže dvě strany tohoto trojúhelníku budou (běžné) přímky, s tím, že pravý úhel bude ve vrcholu C. Třetí strana trojúhelníku bude odpovídat zelené kružnici K', kolmé na K.
Označme si na chvíli eukleidovskou vzdálenost AC písmenkem x. Protože C a C'' jsou inverzní vzhledem ke K (obě kružnice jsou vzájemně ortogonální a proto je K' inverzním obrazem sama sebe), platí:
AC'' = 1/AC = 1/x
a AP bude aritmetickým průměrem AC a AC'':
AP = (x+1/x)/2 = (1+x2) / 2x
Trojúhelníky AMP a AMC' jsou podobné, takže
AC'/AM = AM/AP
a protože AM = 1 (K je jednotková) dostaneme AC' * AP = 1, což znamená, že P a C' jsou inverzní body a platí tedy
AC' = 1/AP = 2x / (1+x2) = tanh(b)
kde b je hyperbolická vzdálenost d(A,C), viz formulka (+++).
Eukleidovská vzdálenost AC' tedy představuje tanh hyperbolické vzdálenost b=d(A,C).
Podobně se ukáže, že AB' představuje tanh hyperbolické vzdálenost c=d(A,B).
Podíváme-li se na trojúhelník AB'C' eukleidovsky, máme
cos(A) = AC' / AB' = tanh(b) / tanh(c)
a to je přesně formulka (3).
+++++++++
A teď dokážeme formulku (4). A když už jsem si pracně nakreslil ten obrázek, ukážeme si ji nejprve pro sin(B) a pak prostě prohodíme proměnné.
Písmenkem x si pro změnu označíme eukleidovskou vzdálenost x=AB. Protože B a B'' jsou inverzní body vzhledem ke K (kolmost kružnic K a K'):
BB'' = AB'' - AB = 1/x - x = (1-x2) / x
což se dá podle formulky (+) převést na hyperbolickou vzdálenost c=d(A,B)
BB'' = 2 / sinh(c)
Obdobně jsou C a C'' inverzní body, takže analogicky dostaneme
CC'' = 2 / sinh(b)
Úhel B je roven úhlu (XPB).
To není úplně triviální, ale pokud si v bodě B sestrojíte tečnu k zelené kružnici a uvážíte, že tato je kolmá na BP, bude to jasnější. Pokud ne, kopněte do sebe štamprli a uvidíte to hned. Proto můžeme hodnotu sin(B) spočítat z trojúhelníku XPB (BP je to samé co CP a to je polovina CC''):
sin(B) = BX / BP = (BB''/2) / (CC''/2) = sinh(b) / sinh(c)
a pouhým přeznačením stran dostaneme rovnici (4)
sin(A) = sinh(a) / sinh(c)
(odpovídající přesunu vrcholu B do počátku a provedením téže úvahy)
+++++++++
Z formulek (3) a (4) už hyperbolickou Pythagorovu větu obdržíme celkem snadno.
Začneme s triviální rovností:
1 = sin2(A) + cos2(A)
na kterou obě formulky aplikujeme.
1 = sinh2(a) / sinh2(c) + tanh2(b) / tanh2(c)
Obě strany vynásobíme sinh2(c):
sinh2(c) = sinh2(a) + cosh2(c)*tanh2(b)
dále k oběma stranám přičteme 1 a uvážíme, že 1+sinh2(x)=cosh2(x):
cosh2(c) = cosh2(a)+cosh2(c)*sinh2(b)/cosh2(b)
a pronásobíme cosh2(b)
cosh2(c)*(cosh2(b)-sinh2(b)) = cosh2(a)*cosh2(b)
Závorka vlevo je rovna 1, takže už stačí jen odmocnit:
cosh(c) = cosh(a)*cosh(b)
A to je hyperbolická Pythagorova věta.
No, trochu jsem to ošulil, ale pokud se chcete v technických detailech pošťourat podrobněji, mrkněte sem anebo sem. A protože pro malá x platí, že cosh(x) ~ 1 + x2 / 2, stejně jako ve sférické geometrii se přesvědčíme, že limitně se hyperbolická Pythagorova věta blíží té eukleidovské.
+++++++++
Shrnutí neeukleidovských geometrií
Tak končí naše geometrie. Kosínus prohrává a Eukleides žije.
Čtenář by si teď mohl plným právem položit otázku, k čemu jsou ty neeukleidovské geometrie vlastně dobré.
U sférické je to jasné. Žijeme na sféře a její geometrie je geometrií našeho pohybu po ní. Kartografové o tom vědí své.
U hyperbolické je to otázka o něco ošidnější. V matematice se samozřejmě hyperbolická geometrie používá pro speciální účely (kromě diferenciální geometrie například v teorii čísel či dynamických systémů). Obecná teorie relativity je v podstatě studiem zakřivených prostorů. Ale existují i trochu esoteričtější aplikace, se kterými se lze setkat při studiu komplexních sítí, atomických struktur, celulárních automatů či zobrazování grafů.
A ruku na srdce - hyperbolická geometrie má i určitý dosah estetický.
+++++++++
V každém případě je jejich studium jednou z nejpodnětnějších oblastí matematiky, protože naše zkostnatělé eukleidovské vidění neustále natahuje na skřipec imaginace. Nutí náš mozek pohlížet na svět rybíma očima.
Ale protože těch odlišností jednotlivých geometrií bylo v průběhu této minisérie poměrně dost, podívejme se na závěr na jejich stručný přehled.
geometrie | hyperbolická | eukleidovská | sférická |
---|---|---|---|
realizace | pseudosféra | rovina | sféra |
křivost | K<0 | K=0 | K>0 |
? | 1 | 0 | |
rozbíhavé | paralelní | sbíhavé | |
metrika | ds2/(1-x2-y2) | ds2 | ds2/(1+x2+y2) |
Několik upřesnění:
- počet rovnoběžek je vztažen k dané přímce a bodu, který na ní neleží
- chování rovnoběžek je přesněji chování přímek se společnou kolmicí: v eukleidovské si udržují stejnou vzdálenost, ve sférické se vzdálenost mezi nimi zmenšuje a v hyperbolické naopak zvětšuje
- poměr obvod:průměr se rozumí u kružnice
- součet vnitřních úhlů zase v trojúhelníku
- Pythagoras, pokud ho neznáte, je mimo jiné číselný mystik :-)
- metrika je vztažena k běžné eukleidovské, tj. ds2 = dx2 + dy2, a její přesný tvar závisí na konkrétním modelu
No a za staré Řecko je to ke geometrii asi tak fšecko.
+++++++++
Dnes se s neeukleidovskými geometriemi loučíme a protože loučení je vždycky tak trochu hořkosladká záležitost, vybral jsem na závěr soundtrack z poměrně neznámého westernu "The Desperados", jehož centrální téma (0:48) patří k nejkrásnějším hořkosladkým melodiím, které znám. David Whitaker: The Desperados.
Předchozí díly Matykání.
Jan Řeháček
Jaro: das ist nur die erste Phase
Jaro má v našem parku tři fáze, které jsem výstižně pojmenoval: první, druhá a třetí. Toto je svědectví o první z nich. Můžeme s ním nesouhlasit, můžeme proti němu protestovat, ale to je asi tak vše, co s tím můžeme dělat, Járo.
Jan Řeháček
A je po Velikonocích. A nejen po nich.
Globální kotlík zavěšený nad ohněm inkluze a diversity pomalu vytlačuje národní státy, vyrůstající ze sdíleného kulturního podhoubí. Tomuto trendu se nově přizpůsobuje i řada českých svátků s jejichž novelizací vás chci seznámit.
Jan Řeháček
Impresionisté na hladině
Když se na podzim objevily barvy na stromech, všiml jsem si, že se občas zrcadlí v našem potoce či rybníčku. Tak jsem na ně zamířil objektiv a vyšly z toho roztěkané výtvarné kreace, za které by se nemusel stydět ani Claude Monet.
Jan Řeháček
AI Art: co už umí a co ještě ne
Loni jsem trochu experimentoval s malířskými schopnostmi tehdy nastupující generativní AI Art. Letos, za dlouhých zimních večerů jsem si na to vzpomněl a napadlo mne podívat se, jak moc za ten rok AI pokročila. Nu, posuďte sami.
Jan Řeháček
Není větvička jako větvička
Stromy a jejich rozeklaná větvoví jsou sochařská díla. V létě to ale nepoznáte, protože přírodní majstrštyky zakrývá koruna. Jakmile ale podzim povolá svá vojska zpět do zálohy, ladná elegance dřevěných křivek vystoupí do popředí.
Další články autora |
Studentky rozrušila přednáška psycholožky, tři dívky skončily v nemocnici
Na kutnohorské střední škole zasahovali záchranáři kvůli skupině rozrušených studentek. Dívky...
Podvod století za 2,4 miliardy. Ortinskému hrozí osm let a peněžitý trest 25 milionů
Luxusní auta, zlaté cihly, diamanty a drahé nemovitosti. To vše si kupoval osmadvacetiletý Jakub...
Stovky amerických obrněnců se v řádu dnů nepozorovaně přemístily do Česka
Několik set vozidel americké armády včetně obrněnců Bradley nebo transportérů M113 se objevilo ve...
Zemřel bývalý místopředseda ODS Miroslav Macek. Bylo mu 79 let
Ve věku 79 let zemřel bývalý místopředseda ODS a federální vlády Miroslav Macek, bylo mu 79 let. O...
Moskva se chlubí kořistí z Ukrajiny: Abramsy, Leopardy i českým BVP
V Moskvě ve středu začala výstava západní vojenské techniky, kterou používá ukrajinská armáda a...
Nová odhalení z fakulty: studenti viděli vraha dřív, policie byla v budově víckrát
Premium Masový vrah David K., který v prosinci při střelbě na Filozofické fakultě Univerzity Karlovy v...
Na důchodce zaklekli, chalífát neřeší. Němce děsí mdlé reakce jejich politiků
Premium Snímky stovek radikálních islamistů demonstrujících v ulicích severoněmeckého Hamburku, kteří...
Na jednání o míru nepřijdeme, vzkázali Rusové. Švýcaři je ani nezvali
Švýcarsko iniciuje vlastní mírovou konferenci o Ukrajině. S pozváním Ruska na setkání, které se má...
Pavel zkritizoval všechny. Nefér jsou Babišova slova i kampaň SPOLU, míní
Kampaň, která dělá z hnutí ANO zastánce ruských zájmů, je podle prezidenta Petra Pavla stejně nefér...
- Počet článků 402
- Celková karma 19,54
- Průměrná čtenost 920x