Matykání: Pythagorovo souvětí
I plošníci žijící na zakřivených plochách si mohou nasliněnou inkoustovou tužkou nakreslit pravoúhlý trojúhelník z geodetik a zkoumat, zda mezi délkami jeho stran neexistují nějaké zajímavé vztahy.
A při pečlivém výpočtu se skutečně ukáže, že pythagorovské formulky pro sférický a hyperbolický pravoúhlý trojúhelník nejenže existují, ale vypadají jako by si z oka vypadly.
Na sféře geometři vykoumali, že přepona c a odvěsny a, b musí splňovat rovnici
cos(c) = cos(a) * cos(b)
zatímco na hyperboloidu se ty tři veličiny pojí takto:
cosh(c) = cosh(a) * cosh(b)
Z toho je mimochodem vidět, že mezi goniometrickými a hyperbolickými funkcemi existuje poměrně hluboký vztah, který jsme viděli již v komplexní analýze.
Navíc za okamžik uvidíme, že lokálně se obě Pythagorovy věty chovají eukleidovsky - tedy pro malé pravoúhlé trojúhelníčky se zmíněné rovnosti promění v tu, kterou známe ze školy:
c2 = a2 + b2
(stačí na jednu z výše uvedených rovnic ukázat kouzelným kružítkem a pronést zaříkávací formuli: dexempo multo federex)
Tyto tři podoby Pythagorovy věty jsou pro mne další ukázkou pozoruhodné harmonie, která v matematice vládne.
+++++++++
Sférický Pythagoras
Zatímco v eukleidovské trigonometrii nalezneme úhly uvnitř goniometrických funkcí a strany vně, ve sférické verzi se stranám podařilo do sínů a kosínů vlámat taky. Důvod je celkem jednoduchý.
Ve sférické geometrii de facto měříme vzdálenosti pomocí středových úhlů.
Na obrázku vpravo vidíme řez jednotkovou sférou a je celkem patrné, že naznačená délka zeleného sférického oblouku c je přímo úměrná středovému úhlu c'. Pokud ho měříme v radiánech, pak je dokonce c=c'. Pokud naše sféra jednotková není, stále existuje jednoduchá úměra mezi c a c':
c = R*c'.
Proto není problém uvažovat pro trojúhelník se stranou délky c výraz cos(c), protože ta délka se dá chápat (a taky chápe) jako úhel.
+++++++++
Nuže do díla.
Protože Pythagorova věta je v podstatě speciálním případem kosínové věty, odvodíme si nejprve její sférickou verzi.
Vezmeme si trojúhelník ABC se stranami a, b, c a úhly A, B, C v odpovídajících vrcholech na jednotkové sféře se středem v bodě O.
Protože sféra je perfektně symetrická, můžeme si vhodnou rotací (aniž bychom změnili velikost stran či úhlů) natočit trojúhelník tak, aby vrchol C ležel na severním pólu a vrchol B na nultém poledníku (y=0). Bod A ať si pak padne, kam chce (viz obrázek vpravo).
Tři body trojúhelníku odpovídají třem vektorům:
u = OC
v = OB
w = OA
Středový úhel AOB má velikost c (délky stran odpovídají středovým úhlům) a protože všechny vektory jsou jednotkové, jeho kosínus bude roven skalárnímu součinu
cos(c) = v.w
Jen teď musíme najít správné vyjádření pro oba vektory v tradičních sférických souřadnicích, ve kterých bude zeměpisná šířka měřena od pólu a zeměpisná délka od zeleného poledníku.
Vektor v bude odpovídat šířce a a délce 0, takže jeho souřadnice budou
v = (sin(a),0,cos(a))
Vektor w má šířku b, délku C (viz obrázek) a tudíž souřadnice:
w = (sin(b)*cos(C),sin(b)*sin(C),cos(b))
Za skalární součin v.w proto dosadíme příslušný součin komponent
cos(c) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)*cos(C)
a to je v podstatě sférická verze kosínové věty.
Nyní položíme C = 90° a dostaneme Pythagorovu větu, která říká, že v pravoúhlém trojúhelníku na sféře splňují délky stran rovnici
cos(c) = cos(a)*cos(b)
+++++++++
Minule jsme při zkoumání úhlového defektu zjistili, že pro malé rozměry se sférické i hyperbolické trojúhelníky chovají podobně jako eukleidovské. Pojďme se tedy podívat, co se stane, když náš trojúhelník bude mít "maličké" strany a, b a c.
Pro malé hodnoty x se funkce cos(x) dá aproximovat kvadratickým polynomem
cos(x) ~ 1 - x2 / 2
(jsou to de facto první dva členy Taylorova rozvoje kosínu do "nekonečného polynomu")
Nuže dosaďme tuto aproximaci za jednotlivé členy sférické Pythagorovy věty:
(1 - c2 / 2) = (1 - a2 / 2) * (1 - b2 / 2)
Pravou stranu roznásobíme a po algebraické úpravě dostaneme
c2 = a2 + b2 - a2 b2 / 2
protože hodnoty a,b,c jsou malinké, člen a2 * b2 můžeme ve srovnání s ostatními zanedbat a dostaneme běžnou Pythagorovu větu.
c2 = a2 + b2
I zde tedy platí, že malé sférické trojúhelníky se chovají eukleidovsky.
+++++++++
Hyperbolický Pythagoras
Protože minule jsme prováděli výpočet v modelu poloroviny, dnes se přesuneme do kruhového modelu a započítáme si tam. Naším pískovištěm bude jednotkový kruh K a "přímky" v něm budou představovat kružnice kolmé na K.
Přímka procházející body A a B je tedy (jednoznačně určená) zelená kružnice, jejíž konstrukci jsme zkoumali předminule. Tato kružnice protíná definiční kružnici K v bodech M a N.
Hyperbolickou vzdálenost mezi A a B budu značit d(A,B), zatímco pro běžnou eukleidovskou budu používat symbol AB. Neustále přepínání mezi eukleidovskými a hyperbolickými vzdálenostmi je asi nejtěžším aspektem hyperbolické trigonometrie.
Protože přímka (geodetika) je nejkratší spojnicí bodů A a B, vzdálenost d(A,B) mezi nimi se v principu spočítá tak, že si ten kousek zelené hyperbolické přímky (ať už vypadá jako kružnice nebo jako přímka) mezi A a B rozsekáme na spoustu malých infinitesimálních kousíčků, jeden každý z nich změříme příslušnou hyperbolickou metrikou a vzniklé mezivýsledky pak prostě sečteme (přesněji zintegrujeme, protože jsou infinitesimálně malé).
To je samozřejmě netriviální úkon a proto ho za nás pro obecnou (ne nutně jednotkovou) kružnici provedli báječní muži s logaritmickými pravítky a zjistili, že vzdálenost d(A,B) se dá vyjádřit pomocí tzv. křížového poměru běžných eukleidovských vzdáleností:
d(A,B) = | log(AM*BN / AN*BM) |
(to co je v závorce definuje křížový poměr uvedených bodů [A,B;M,N])
Pokud se stane, že jeden z těch dvou bodů je střed O jednotkové kružnice K, pak se ta zelená kružnice stane běžnou přímkou (kružnice s nekonečným poloměrem) a celý vzoreček se zjednoduší (viz obrázek nahoře). OM i ON budou rovny 1 (v našem případě je K jednotková kružnice) a pokud si označíme eukleidovskou vzdálenost mezi O a B' písmenkem x a dostaneme B'M = 1-x, B'N = 1+x, takže suma sumárum
(0) d(O,B') = | log((1+x)/(1-x)) |
(toto je de facto převod mezi eukleidovskou a hyperbolickou vzdáleností od středu)
Tento speciální případ OB' se dokonce dá odvodit přímo z metriky, protože na přímce je ta integrace poměrně snesitelná (podrobnosti zde a zde). A protože obecný případ d(A,B) se dá do počátku "dotlačit" pomocí Möbiových transformací, které zachovávají hyperbolické vzdálenosti, můžeme se při analýze trojúhelníku ABC omezit na situaci, kdy je bod A v počátku.
Nejprve ale rovnici (0) trochu přepíšeme. Pokud si tu hyperbolickou vzdálenost mezi O a B' označíme zkráceně jako d, můžeme ji vyjádřit pomocí exponenciely
(1) exp(d) = (1+x)/(1-x)
pro reciproké hodnoty pak dostaneme:
(2) exp(-d) = (1-x)/(1+x)
a pomocí hyperbolických funkcí můžeme (1) a (2) kombinovat:
(+) sinh(d) = 2x / (1-x2)
(++) cosh(d) = (1+x2) / (1-x2)
(+++) tanh(d) = 2x / (1+x2)
+++++++++
No a teď zpátky k té Pythagorově větě.
Nejprve si odvodíme dvě pomocné rovnosti.
(3) cos(A) = tanh(b) / tanh(c)
(4) sin(A) = sinh(a) / sinh(c)
V trojúhelníku ABC necháme bod A v počátku O, takže dvě strany tohoto trojúhelníku budou (běžné) přímky, s tím, že pravý úhel bude ve vrcholu C. Třetí strana trojúhelníku bude odpovídat zelené kružnici K', kolmé na K.
Označme si na chvíli eukleidovskou vzdálenost AC písmenkem x. Protože C a C'' jsou inverzní vzhledem ke K (obě kružnice jsou vzájemně ortogonální a proto je K' inverzním obrazem sama sebe), platí:
AC'' = 1/AC = 1/x
a AP bude aritmetickým průměrem AC a AC'':
AP = (x+1/x)/2 = (1+x2) / 2x
Trojúhelníky AMP a AMC' jsou podobné, takže
AC'/AM = AM/AP
a protože AM = 1 (K je jednotková) dostaneme AC' * AP = 1, což znamená, že P a C' jsou inverzní body a platí tedy
AC' = 1/AP = 2x / (1+x2) = tanh(b)
kde b je hyperbolická vzdálenost d(A,C), viz formulka (+++).
Eukleidovská vzdálenost AC' tedy představuje tanh hyperbolické vzdálenost b=d(A,C).
Podobně se ukáže, že AB' představuje tanh hyperbolické vzdálenost c=d(A,B).
Podíváme-li se na trojúhelník AB'C' eukleidovsky, máme
cos(A) = AC' / AB' = tanh(b) / tanh(c)
a to je přesně formulka (3).
+++++++++
A teď dokážeme formulku (4). A když už jsem si pracně nakreslil ten obrázek, ukážeme si ji nejprve pro sin(B) a pak prostě prohodíme proměnné.
Písmenkem x si pro změnu označíme eukleidovskou vzdálenost x=AB. Protože B a B'' jsou inverzní body vzhledem ke K (kolmost kružnic K a K'):
BB'' = AB'' - AB = 1/x - x = (1-x2) / x
což se dá podle formulky (+) převést na hyperbolickou vzdálenost c=d(A,B)
BB'' = 2 / sinh(c)
Obdobně jsou C a C'' inverzní body, takže analogicky dostaneme
CC'' = 2 / sinh(b)
Úhel B je roven úhlu (XPB).
To není úplně triviální, ale pokud si v bodě B sestrojíte tečnu k zelené kružnici a uvážíte, že tato je kolmá na BP, bude to jasnější. Pokud ne, kopněte do sebe štamprli a uvidíte to hned. Proto můžeme hodnotu sin(B) spočítat z trojúhelníku XPB (BP je to samé co CP a to je polovina CC''):
sin(B) = BX / BP = (BB''/2) / (CC''/2) = sinh(b) / sinh(c)
a pouhým přeznačením stran dostaneme rovnici (4)
sin(A) = sinh(a) / sinh(c)
(odpovídající přesunu vrcholu B do počátku a provedením téže úvahy)
+++++++++
Z formulek (3) a (4) už hyperbolickou Pythagorovu větu obdržíme celkem snadno.
Začneme s triviální rovností:
1 = sin2(A) + cos2(A)
na kterou obě formulky aplikujeme.
1 = sinh2(a) / sinh2(c) + tanh2(b) / tanh2(c)
Obě strany vynásobíme sinh2(c):
sinh2(c) = sinh2(a) + cosh2(c)*tanh2(b)
dále k oběma stranám přičteme 1 a uvážíme, že 1+sinh2(x)=cosh2(x):
cosh2(c) = cosh2(a)+cosh2(c)*sinh2(b)/cosh2(b)
a pronásobíme cosh2(b)
cosh2(c)*(cosh2(b)-sinh2(b)) = cosh2(a)*cosh2(b)
Závorka vlevo je rovna 1, takže už stačí jen odmocnit:
cosh(c) = cosh(a)*cosh(b)
A to je hyperbolická Pythagorova věta.
No, trochu jsem to ošulil, ale pokud se chcete v technických detailech pošťourat podrobněji, mrkněte sem anebo sem. A protože pro malá x platí, že cosh(x) ~ 1 + x2 / 2, stejně jako ve sférické geometrii se přesvědčíme, že limitně se hyperbolická Pythagorova věta blíží té eukleidovské.
+++++++++
Shrnutí neeukleidovských geometrií
Tak končí naše geometrie. Kosínus prohrává a Eukleides žije.
Čtenář by si teď mohl plným právem položit otázku, k čemu jsou ty neeukleidovské geometrie vlastně dobré.
U sférické je to jasné. Žijeme na sféře a její geometrie je geometrií našeho pohybu po ní. Kartografové o tom vědí své.
U hyperbolické je to otázka o něco ošidnější. V matematice se samozřejmě hyperbolická geometrie používá pro speciální účely (kromě diferenciální geometrie například v teorii čísel či dynamických systémů). Obecná teorie relativity je v podstatě studiem zakřivených prostorů. Ale existují i trochu esoteričtější aplikace, se kterými se lze setkat při studiu komplexních sítí, atomických struktur, celulárních automatů či zobrazování grafů.
A ruku na srdce - hyperbolická geometrie má i určitý dosah estetický.
+++++++++
V každém případě je jejich studium jednou z nejpodnětnějších oblastí matematiky, protože naše zkostnatělé eukleidovské vidění neustále natahuje na skřipec imaginace. Nutí náš mozek pohlížet na svět rybíma očima.
Ale protože těch odlišností jednotlivých geometrií bylo v průběhu této minisérie poměrně dost, podívejme se na závěr na jejich stručný přehled.
geometrie | hyperbolická | eukleidovská | sférická |
---|---|---|---|
realizace | pseudosféra | rovina | sféra |
křivost | K<0 | K=0 | K>0 |
? | 1 | 0 | |
rozbíhavé | paralelní | sbíhavé | |
metrika | ds2/(1-x2-y2) | ds2 | ds2/(1+x2+y2) |
Několik upřesnění:
- počet rovnoběžek je vztažen k dané přímce a bodu, který na ní neleží
- chování rovnoběžek je přesněji chování přímek se společnou kolmicí: v eukleidovské si udržují stejnou vzdálenost, ve sférické se vzdálenost mezi nimi zmenšuje a v hyperbolické naopak zvětšuje
- poměr obvod:průměr se rozumí u kružnice
- součet vnitřních úhlů zase v trojúhelníku
- Pythagoras, pokud ho neznáte, je mimo jiné číselný mystik :-)
- metrika je vztažena k běžné eukleidovské, tj. ds2 = dx2 + dy2, a její přesný tvar závisí na konkrétním modelu
No a za staré Řecko je to ke geometrii asi tak fšecko.
+++++++++
Dnes se s neeukleidovskými geometriemi loučíme a protože loučení je vždycky tak trochu hořkosladká záležitost, vybral jsem na závěr soundtrack z poměrně neznámého westernu "The Desperados", jehož centrální téma (0:48) patří k nejkrásnějším hořkosladkým melodiím, které znám. David Whitaker: The Desperados.
Předchozí díly Matykání.
Jan Řeháček
Jaro: das ist nur die zweite Phase
Jaro má v našem parku tři fáze, které jsem výstižně pojmenoval: první, druhá a třetí. Toto je svědectví o druhé z nich. Můžeme s ním nesouhlasit, můžeme proti němu protestovat, ale to je asi tak vše, co s tím můžeme dělat, Járo.
Jan Řeháček
Jaro: das ist nur die erste Phase
Jaro má v našem parku tři fáze, které jsem výstižně pojmenoval: první, druhá a třetí. Toto je svědectví o první z nich. Můžeme s ním nesouhlasit, můžeme proti němu protestovat, ale to je asi tak vše, co s tím můžeme dělat, Járo.
Jan Řeháček
A je po Velikonocích. A nejen po nich.
Globální kotlík zavěšený nad ohněm inkluze a diversity pomalu vytlačuje národní státy, vyrůstající ze sdíleného kulturního podhoubí. Tomuto trendu se nově přizpůsobuje i řada českých svátků s jejichž novelizací vás chci seznámit.
Jan Řeháček
Impresionisté na hladině
Když se na podzim objevily barvy na stromech, všiml jsem si, že se občas zrcadlí v našem potoce či rybníčku. Tak jsem na ně zamířil objektiv a vyšly z toho roztěkané výtvarné kreace, za které by se nemusel stydět ani Claude Monet.
Jan Řeháček
AI Art: co už umí a co ještě ne
Loni jsem trochu experimentoval s malířskými schopnostmi tehdy nastupující generativní AI Art. Letos, za dlouhých zimních večerů jsem si na to vzpomněl a napadlo mne podívat se, jak moc za ten rok AI pokročila. Nu, posuďte sami.
Další články autora |
Atentát na Fica. Slovenského premiéra postřelili
Slovenského premiéra Roberta Fica ve středu postřelili. K incidentu došlo v obci Handlová před...
Fico je po operaci při vědomí. Ministr vnitra mluví o občanské válce
Slovenský premiér Robert Fico, který byl terčem atentátu, je po operaci při vědomí. S odkazem na...
Fica čekají nejtěžší hodiny, od smrti ho dělily centimetry, řekl Pellegrini
Zdravotní stav slovenského premiéra Roberta Fica je stabilizovaný, ale nadále vážný, řekl po...
Pozdrav z lůžka. Expert Antoš posílá po srážce s autem palec nahoru
Hokejový expert České televize Milan Antoš, kterého v neděli na cestě z O2 areny srazilo auto, se...
Putinova časovaná bomba. Kadyrov umírá, rozjíždí se krvavý boj o trůny
Premium Ramzan Kadyrov ještě dýchá, v Čečensku se však už začíná hledat jeho nástupce. Naznačují to i...
Charkovská oblast evakuovala deset tisíc lidí. Situace je kritická, míní expert
Sledujeme online Ukrajina od zahájení ruského pozemního útoku v Charkovské oblasti v minulém týdnu evakuovala už...
Kurátor: Ruská agrese mění pohled na umění socialismu, ničit by se ale nemělo
Vedení Prahy řeší budoucnost nápisu „Moskva-Praha“ ve stanici metra Anděl. Ten je podle petice na...
Konec vechtrů v Čechách. Poslední závory na kliku brzy obslouží počítač
Premium Závorář. Kdysi nejčastější profese na železnici je dnes doslova na vymření. Zbývají na posledních...
Oslavili nejdéle trvající manželství v Německu, dohromady jim je 200 let
Manželský pár ze západního Německa oslavil 80. výročí svatby. Stal se tak nejdéle sezdaným párem v...
ŘIDIČ/KA (VHODNÉ I PRO SENIORY) (A12607)
AURES Holdings a.s.
Jihomoravský kraj
nabízený plat:
120 - 120 Kč
- Počet článků 403
- Celková karma 18,33
- Průměrná čtenost 918x